Page - 26 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

26 Einleitung. endlich und von Null verschieden. Dann ist ψ(z) = ∫ ϕ(z)dz, wenn ϕ(z) = f(z) (z−a)n gesetzt wird, in der Umgebung vona jedenfalls eine eindeutige Funktion, da dψdz weder null noch unendlich wird. Mithin ist auchϕ(z) = dψ(z) dz in der Umgebung von a eine eindeutige Funktion und da es auch f(z) sein soll, so ist das nur mo¨glich, wenn (z−a)n eine eindeutige Funktion in der Umgebung von a ist d. h. wennn eine ganze Zahl bedeutet. In der Umgebung einern-fachen Nullstelle hat also die eindeutige Funk- tion f(z) die Entwicklung f(z) = (z−a)n[A+A1(z−a)+A2(z−a)2 + · ·· ], woA von Null verschieden ist; denn es ist ϕ(z) =A+A1(z−a)+A2(z−a)2 + · ·· Ist a=∞, so ist die Entwicklung der Funktion, welche fu¨r z=∞nmal verschwindet, f(z) = 1 zn [ A+ A1 z + A2 z2 + · ·· ] , woA von Null verschieden ist. Ist f(z) in der Umgebung dern-fachen Unendlichkeitsstelle eindeutig, so folgt wie fru¨her, dass wenn (z−b)nf(z) =ϕ(z), ϕ(b) =B ist, woB endlich und von Null verschieden ist, dass ϕ(z) in der Umgebung von z= b eindeutig ist und daher ϕ(z) =B+B1(z−b)+B2(z−b)2 + · ··Bn(z−b)n+Bn+1(z−b)n+1 · ·· also f(z) = B (z−b)n+ B1 (z−b)n−1 + · ·· Bn−1 z−b+Bn+Bn+1(z−b)+ · ·· ist,worausdieFormderEntwicklungvonf(z)ersichtlichundaugenscheinlich ist, dass f(b) =∞wird, wie B(z−b)n. Ist b=∞, so muss f(z)zn =ψ(z) fu¨r z=∞ endlich und von Null verschie- den sein, also ist ψ(z) =B+ B1 z + · ··Bn−1 zn−1 + Bn zn + Bn+1 zn+1 + · ·· f(z) =Bzn+B1z n−1 + · ··Bn−1z+Bn+ Bn+1 z + · ·· , woraus wieder die Art des Unendlichwerdens fu¨r z=∞ ersichtlich.