Page - 27 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

27 11. Eine eindeutige Funktion von z, welche fu¨r keinen endlichen Wert von z unendlich gross wird, und fu¨r z =∞ nur unendlich wird von der nten Ordnung, heisst eine ganze rationale Funktion von z. Ihre Form ergiebt sich durch die vorstehenden Sa¨tze einfach. Fu¨r sehr grosse Werte von z ist f(z) =a0z n+a1z n−1 + · ··+an−1z+an + an+1 z + an+2 z + · ·· Diese Entwicklung gilt fu¨r alle z, welche ausserhalb des um den Punkt z = 0 geschlagenen Kreises liegen, der alle Unendlichkeitspunkte von f(z) entha¨lt. Da aber f(z) keine Unendlichkeitspunkte im Endlichen gelegen hat, so ko¨nnen wir diesen Kreis auf den Nullpunkt zusammenziehen, d. h. die Entwicklung muss auch fu¨r z= 0 gelten und da f(0) endlich ist, so muss an+1 = 0,an+2 = 0 . . . sein, d. h. es ist f(z) =a0z n+a1z n−1 + · ··an−1z+an. Wu¨rde f(z) auch fu¨r z=∞nicht unendlich, so mu¨sste a0 = 0,a1 = 0, . . .an−1 = 0 sein d. h. f(z) = an sein, oder: eine eindeutige Funktion von z, welche fu¨r keinen Wert von z unendlich wird, ist eine Constante. Eine eindeutige Funktion von z, welche fu¨r die Punkte z= b1,b2 . . .bm von den Ordnungen n1,n2 . . .nm unendlichwird,und fu¨rz=∞vonderOrdnungpunendlichwird,heisst eine gebrochene rationale Funktion. Eine rationale Funktion ist also eine eindeuti- ge Funktionvonz,welchenur fu¨reineendliche AnzahlWertezunendlichvon endlicher Ordnung wird oder, wie man sich ausdru¨cken kann: eine rationale Funktion ist eine eindeutige Funktion von z, welche nur eine endliche Anzahl von Unendlichkeitsstellen hat. Hiebei wird jedem-fache Unendlichkeitsstelle alsm einfache solcher Stellen geza¨hlt. Es wird φ(z) = (z−b1)n1(z−b2)n2 · ··(z−bm)nmf(z)