Page - 28 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

28 Einleitung. fu¨r keinen endlichen Wert von zmehr unendlich. Setzen wir n1 +n2 +n3 + · ··+nm= q, so wird (z−b1)n1(z−b2)n2 · ··(z−bm)nm= = zq+B1z q−1 + · ··Bq−1z+Bq eine ganze rationale Funktion, welche fu¨r z =∞ von der qten Ordnung unendlich wird, und da f(z) von der pten Ordnung unendlich wird, so wird ϕ(z) = (zq+ · ··+Bq)f(z) von der p+qten Ordnung unendlich fu¨r z=∞ und sonst nicht mehr, also ist ϕ(z) =Azp+q+A1z p+q−1 + · ··Ap+q, und daher, wenn p+q= r gesetzt wird, f(z) = Azr+A1z r−1 + . . .Ar zq+B1zq−1 + . . .Bq . Ist r≥ q, so heisst f(z) unecht gebrochen, ist r<q, so heisst f(z) echt gebrochen, fu¨r die letztere ist f(∞) = 0. Man kann durch Subtraktion einer ganzen rationalen Funktion von f(z) stets bewirken, dass der Rest eine echt gebrochene Funktion ist. Es sei na¨mlich fu¨r z=∞die Entwicklung f(z) = cνz ν+cν−1zν−1 + · ··c1z+c0 + d1 z + d2 z2 + · ·· ; setzt man dann ψ(z) =f(z)−(cνzν+cν−1zν−1 + · ··+c1z+c0), so muss ψ(z) = aµz µ+aµ−1zµ−1 + · ··+a1z+a0 zq+B1zq−1 + · ··+Bq sein, woµ<q ist, daψ(∞) = 0 ist. Es ist sodann f(z) = cνz ν+cν−1zν−1 + · ··c1z+c0 + aµz µ+aµ−1zµ−1 + · ··+a1z+a0 zq+B1zq−1 + · ··+Bq