Page - 35 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

35 oder die rationale Funktion wird eben so oft null als unendlich. Hierbei za¨hlt einn-facherNull- oderUnendlichkeitspunktalsn einfacheNull- oderUnend- lichkeitspunkte. Ist R(z) =anz n+an−1zn−1 + · ··+a0 eine ganze rationale Funktion, welche also nur fu¨r z=∞ von dernten Ord- nung unendlich wird, und setzen wir voraus, dass sie in jedem der Punkte z1,z2, . . .zm blos von der ersten Ordnung verschwindet, so muss m∑ κ=1 1 =n sein, oder m=n, d. h.R(z) = 0 liefert genau nWerte z1,z2, . . .zn, welche diese Gleichung befriedigen oder eine algebraische Gleichungnten Grades hatnWurzeln. Es ist dann R(z) =an(z−z1)(z−z2)· ··(z−zn), denn R(z) an(z−z1)(z−z2)· ··(z−zn) =ϕ(z) wird fu¨r keinen endlichen Wert von z unendlich, da fu¨r z = zν R(z) = (z−zν)ψ(z) ist undψ(zν) =Aν von Null verschieden ist, also ist ϕ(zν) = Aν an(zν−z1)· ··(zν−zν−1)(zν+zν+1)· ··(zν−zn) endlich. Fu¨r z=∞ ist aber ϕ(∞) = 1, also ist u¨berhaupt ϕ(z) = 1, was obige Behauptung erweist. Wu¨rde z1 = z2 = · ··= zµwerden, so wu¨rde in der Umgebung von z1 R(z) = (z−z1)µ(A+A1(z−z1)+ · ··) sein, d. h.R(z) wu¨rde µ-mal verschwinden und z1 heisst dann eine µ-fache Wurzel vonR(z). Es tritt dann inR(z) der Faktor (z−z1)µ-mal auf. Sagt man also, eine Gleichung nten Grades hat nWurzeln, so ist jede µ-fache Wurzel alsµ einfache Wurzeln zu za¨hlen.