Page - 38 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

38 Einleitung. Fig. 18. Fig. 19. Ist nun f(z) innerhalbA (Fig. 18) eindeutig und nur in den Punkten b1, b2, . . . bν unendlich, so ist, wenn innerhalbAder Punkt z=∞nicht liegt∫ A f(z)dz= ∑ h ∫ _ bh f(z)dz, also ∫ A f(z)dz= 2pii ∑ h [f(z)](z−bh)−1. IstaberAderartigbeschaffen,dassderPunktz=∞ darin liegt, wie z. B. in der Fla¨che, die K aussch- liesst, welche also links liegt, wenn K (Fig. 19) in der Richtung des Pfeiles durchlaufen wird, und lie- gen b1,b2, . . .bν auch links, so ist∫ K f(z)dz= ∑ h ∫ _ bh f(z)dz+ ∫ ∞ f(z)dz = 2pii ∑ h [f(z)](z−bh)−1−2pii [f(z)]z−1. Ist beispielsweiseR(z) eine rationale Funktion, welche fu¨r z= z0 endlich ist undK ein den Punkt z0 so umgebender Kreis, dass innerhalb desselben keiner der Unendlichkeitspunkte vonR(z) liegt, so ist − ∫ K R(z)dz= 0, also [R(z)]z−1 = ∑ h [R(z)](z−bh)−1. Hieraus kann ebenfalls die Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion abgeleitet werden.∗) ∗) Man braucht, wennR(z) die vorgelegte rationale Funktion ist, den eben bewiesenen Satz auf R(z)x−z anzuwenden, wox irgend ein Wert von z ist, fu¨r denR(z) endlich und von Null verschieden ist. Nehmen wir der Einfachheit halberR(∞) = 0, also die Funktion als echt gebrochen an, so wird, wennR(z) =∞ ist, fu¨r z= b1,b2,· ··bm von den Ordnungen n1,n2,· ··nm, R(z)x−z genau fu¨r dieselben Werte unendlich und noch fu¨r z=x, also ist[ R(z) x−z ] (z−x)−1 + m∑ i=1 [ R(z) x−z ] (z−bi)−1 = 0, oder da [ R(z) x−z ] (z−x)−1 =−R(x)