Page - 40 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

40 Einleitung. z= 1 bis z=xdurchla¨uft, also∗) w= ∣∣∣x∫ 1 dz z = logx wird, so istw reell. Wir ersehen aber, dass der logx noch unendlich viele komplexe Werte besitzt, welche in logx+2mpii enthalten sind. Nun ist auch z=f(w) eine Funktion der komplexen Gro¨ssew=u+ iv und zwar ist z= ew. Wir sehen also, dass z eine eindeutige Funktion vonw ist, denn z besitzt die Periode 2pii, da e2pii= 1 ist, so wird z= ew+2mpii= ew. Die eindeutige Funktion ew wird fu¨r keinen endlichen Wert von y null oder unendlich, fu¨rw=∞wird sie aber in einer ganz eigenthu¨mlichen Art unendlich gross. Man kann keine endliche ganze Zahl finden derart, dass[ 1 wn ew ] w=∞ einenendlichenWerterlangt.MannennteinenPunktvonderBeschaffenheit, wie der Punkt w =∞ fu¨r ew ist, einen wesentlich singula¨ren Punkt der Funktion ew. Es la¨sst sich leicht zeigen, dass ew in der Umgebung des wesentlich sin- gula¨ren Punktes jeden Wert unendlich oft annimmt. Um die Umgebung bes- ser zu u¨bersehen, betrachten wir e 1 w, fu¨r welche Funktionw= 0 der wesent- lich singula¨re Punkt ist. Es sei A= eαeiβ der beliebig gegebene Wert, wo alsoα undβ reelle Gro¨ssen sind. Setzen wir w=%(cosϕ+ isinϕ), so muss eαeiβ= e cosϕ % e −isinϕ% ∗) Unter | z∫ z0 f(z)dz soll das Integral auf dem gradlinigen Wege von z0 nach z verstanden werden.