Page - 49 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

49 und e−(2u+ω′) pii ωf(u) = +∞∑ n=−∞ Ane 2(n−1)uωpii−ω ′ ωpii. Setzt man in der ersten Reihe n−1 an Stelle von n, wodurch die Sum- mationsgrenzen ungea¨ndert bleiben, so muss +∞∑ n=−∞ An−1e2(n−1) u ωpii ·e2(n−1)ω ′ ωpii= +∞∑ n=−∞ Ane 2(n−1)uωpii ·e−ω ′ ωpii sein, daher∗) An−1e2(n−1) ω′ ωpii=Ane −ω′ωpii oder An=An−1e(2n−1) ω′ ωpii, mithin An−1 =An−2e(2n−3) ω′ ωpii An−2 =An−3e(2n−5) ω′ ωpii ... A2 =A1e 3ω ′ ωpii A1 =A0e ω′ ωpii. Multiplizirt man die Gleichungen mit einander, so fa¨llt rechts und links das Produkt An−1An−2 . . .A2A1 aus, und es folgt†) An=A0e (1+3+···+2n−3+2n−1)piiω =A0en 2ω′ ωpii, folglich f(u) =A0 +∞∑ n=−∞ en 2ω′ ωpii ·e2nuωpii =A0 +∞∑ n=−∞ e(n 2ω′+2nu)piiω . ∗) Setzt man e2 n ωpii=x, so ist der angewandte Satz ein bekannter Satz u¨ber Potenzrei- hen. †) Setzt man 1+3+5+ · ··+2n−1 = s, so ist n(2n+1) = 1+2+3+ · ··+2n= s+2(1+2+ · ··+n) =s+n(n+1), daher s=n2.