Page - 53 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

53 Gleichungen: ϑ3(u+ω) = ϑ3(u) ϑ3(u+ω ′)= ϑ3(u)e−(2u+ω ′)piiω ϑ0(u+ω) = ϑ0(u) ϑ0(u+ω ′)=−ϑ0(u)e−(2u+ω ′)piiω ϑ2(u+ω) =−ϑ2(u) ϑ2(u+ω ′)= ϑ2(u)e−(2u+ω ′)piiω ϑ1(u+ω) =−ϑ1(u) ϑ1(u+ω ′)=−ϑ1(u)e−(2u+ω ′)piiω (I) Diese Gleichungen sind mit Hilfe der Reihenentwicklungen derϑ-Funkti- onen leicht zu verificiren. Umgekehrt giebt jedes Paar von Gleichungen als DefinitionsgleichungenderFunktionϑdie entsprechendeReihenentwicklung, wenn der konstante FaktorA0 = 1 gesetzt wird. 7. Setzt man ϑ(u,ε,ε′) = +∞∑ n=−∞ e [ (n+ε2) 2 ω′+2(n+ε2) ( u+ε ′ 2ω )] pii ω , (1) so ist ϑ(u,ε,ε′) die allgemeine Thetafunktion, welche fu¨r spezielle Werte von ε,ε′ in die vier obigenϑ u¨bergeht. ε,ε′ heissen die Charakteristiken der ϑ-Funktion. Es ist ϑ(u,0, 0)=ϑ3(u) ϑ(u,1, 0)=ϑ2(u) ϑ(u,0,−1)=ϑ0(u) ϑ(u,1,−1)=ϑ1(u), (2) wie aus der Vergleichung der Reihen ohne weiteres folgt. Manu¨berzeugtsich,wiebeiϑ3(u),dassdieReihefu¨rϑ(u,ε,ε ′)konvergirt, sobald nur der Koeffizient von i in ω ′ ω positiv ist. Es ist ferner ϑ(u,ε+2,ε′)= ϑ(u,ε,ε′) ϑ(u,ε,ε′+2)= (−1)εϑ(u,ε,ε′), (3)