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Gleichungen:
ϑ3(u+ω) = ϑ3(u)
ϑ3(u+ω ′)= ϑ3(u)e−(2u+ω ′)piiω
ϑ0(u+ω) = ϑ0(u)
ϑ0(u+ω ′)=−ϑ0(u)e−(2u+ω ′)piiω
ϑ2(u+ω) =−ϑ2(u)
ϑ2(u+ω ′)= ϑ2(u)e−(2u+ω ′)piiω
ϑ1(u+ω) =−ϑ1(u)
ϑ1(u+ω ′)=−ϑ1(u)e−(2u+ω ′)piiω (I)
Diese Gleichungen sind mit Hilfe der Reihenentwicklungen derϑ-Funkti-
onen leicht zu verificiren. Umgekehrt giebt jedes Paar von Gleichungen als
DefinitionsgleichungenderFunktionϑdie entsprechendeReihenentwicklung,
wenn der konstante FaktorA0 = 1 gesetzt wird.
7. Setzt man
ϑ(u,ε,ε′) = +∞∑
n=−∞ e
[
(n+ε2)
2 ω′+2(n+ε2)
(
u+ε
′
2ω )]
pii
ω , (1)
so ist ϑ(u,ε,ε′) die allgemeine Thetafunktion, welche fu¨r spezielle Werte
von ε,ε′ in die vier obigenϑ u¨bergeht. ε,ε′ heissen die Charakteristiken der
Ï‘-Funktion.
Es ist
Ï‘(u,0, 0)=Ï‘3(u)
Ï‘(u,1, 0)=Ï‘2(u)
ϑ(u,0,−1)=ϑ0(u)
ϑ(u,1,−1)=ϑ1(u), (2)
wie aus der Vergleichung der Reihen ohne weiteres folgt.
Manu¨berzeugtsich,wiebeiϑ3(u),dassdieReihefu¨rϑ(u,ε,ε ′)konvergirt,
sobald nur der Koeffizient von i in ω ′
ω positiv ist.
Es ist ferner
ϑ(u,ε+2,ε′)= ϑ(u,ε,ε′)
ϑ(u,ε,ε′+2)= (−1)εϑ(u,ε,ε′), (3)
Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Title
- Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen
- Author
- Karl Bobek
- Publisher
- Druck und Verlag von B. G. Teubner
- Location
- Leipzig
- Date
- 1984
- Language
- German
- License
- PD
- Size
- 21.0 x 29.7 cm
- Pages
- 290
- Keywords
- Mathematik, Math, Ellipsen, Funktionen, Intervall, Integral
- Category
- Lehrbücher