Page - 55 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

55 Es ist ferner ϑ(−u,ε,ε′) = +∞∑ −∞ e [ (n+ε2) 2 ω′+2(n+ε2) ( −u+ε′2ω )] pii ω . Da aber 2 ( n+ ε2 )(−u+ ε′2ω)=−2(n+ ε2)(u+ ε′2ω)+2(n+ ε2)ε′ω ist, so folgt ϑ(−u,ε,ε′) = e2(n+ε2)ε′pii +∞∑ −∞ e [ (n+ε2) 2 ω′−2(n+ε2) ( u+ε ′ 2ω )] pii ω , also ϑ(−u,ε,ε′) = (−1)εε′ϑ(−u,ε,ε′), (5) daman inderSummendurch−(n+ε) ersetzenkann, sobaldε,ε′ . . .0oder1 sind, was blos die Ordnung der Summation a¨ndert. Von unseren vier ϑ-Funktionen sind also drei gerade und nur eine unge- rade, denn es ist ϑ3(−u) = ϑ3(u), ϑ0(−u) = ϑ0(u) ϑ2(−u) = ϑ2(u), ϑ1(−u) =−ϑ1(u). (6) 8. Die Formel ϑ(u,ε+κ,ε′+κ) =ϑ ( u+κ′ω2 +κ ω 2 ,ε,ε ′)eκ(u+ε′+κ′2 ω+κ4ω′)piiω = (−1)κ(ε ′+κ′) 2 ϑ ( u+κ′ω2 +κ ω 2 ,ε,ε ′)eκ(u+κ4ω′)piiω (4) giebt uns die Verwandlungsformeln der vierϑ-Funktionen ineinander. a) ε= 0, ε′= 0: ϑ(u,κ,κ′)=(−1)κκ ′ 2 ϑ3 ( u+κ′ω2 +κ ω 2 ) eκ(u+ κ 4ω ′)piiω ϑ0(u)=ϑ3 ( u− ω2 ) =ϑ3 ( u+ ω2 ) ϑ2(u)=ϑ3 ( u+ ω ′ 2 ) e ( u+ω ′ 4 ) pii ω ϑ1(u)= 1 iϑ3 ( u− ω2 + ω ′ 2 ) e ( u+ω ′ 4 ) pii ω . (III)