Page - 58 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

58 II. Theorie der Thetafunktionen. 0 fu¨r das neuen zu erstrecken ist und es ist ϑ2(u)= 0∑ n=∞ q(n+ 1 2) 2 e−2(n+ 1 2) u ωpii+ ∞∑ 0 q(n+ 1 2) 2 e2(n+ 1 2) u ωpii = ∞∑ 0 q(n+ 1 2) 2( e2(n+ 1 2) u ωpii+e−2(n+ 1 2) u ωpii ) , ϑ2(u)=2 ∞∑ 0 q(n+ 1 2) 2 cos(2n+1)uωpi =2q 1 4 ∞∑ 0 qn(n+1)cos(2n+1)uωpi, oder, wenn man fu¨rn... n−1 einfu¨hrt, ϑ2(u) = 2q 1 4 ∞∑ n=1 qn(n−1)cos(2n−1)uωpi. A¨ndert manu um−ω2 , so wird ϑ1(u) = 2q 1 4 ∞∑ n=1 (−1)n−1qn(n−1)sin(2n−1)uωpi, da cos(2n−1)(x− pi2)= (−1)n−1sin(2n−1)x ist. Fassen wir die vier Formeln zusammen, so ist also ϑ3(u) = 1+2 ∞∑ n=1 qn 2 cos2nuωpi ϑ0(u) = 1+2 ∞∑ n=1 (−1)nqn2cos2nuωpi ϑ2(u) = 2q 1 4 ∞∑ n=1 qn(n−1)cos(2n−1)uωpi ϑ1(u) = 2q 1 4 ∞∑ n=1 (−1)n−1qn(n−1)sin(2n−1)uωpi. (VII) Hieraus ersehen wir wie fru¨her, dass ϑ3(−u) =ϑ3(u) ϑ0(−u) = ϑ0(u) ϑ2(−u) =ϑ2(u) ϑ1(−u) =−ϑ1(u)