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72 III. Fundamentale Sa¨tze u¨ber doppeltperiodische Funktionen. 16. Jede doppeltperiodische Funktion mit den PeriodenΩundΩ′ kann durch dieϑ-Funktionen mit denselben Perioden ausgedru¨ckt werden. (Hermite’scher Satz.) Es sei F(u) = 0 fu¨r u=β1,β2 . . .βn F(u) =∞ ” u=α1,α2 . . .αn, jederdieserWerteentspra¨cheeinereinfachenNull- resp.Unendlichkeitsstelle, F(u) sei also von dernten Ordnung; dann wissen wir, dass n∑ ν=1 βν− n∑ ν=1 αν=κ′Ω−κΩ′ ist, woκ,κ′ ganze Zahlen sind. Bilden wir die Funktion: ϕ(u) = ϑ1(u−β1)ϑ1(u−β2)· ··ϑ1(u−βn) ϑ1(u−α1)ϑ1(u−α2)· ··ϑ1(u−αn) e2κ u Ωpii, so ist ϕ(u+Ω) =ϕ(u) ϕ(u+Ω′) =ϕ(u) ·e2( ∑ β−∑α)piiΩ ·e2κΩ′Ωpii =ϕ(u)e2(κ ′Ω−κΩ′)piiΩ+2κΩ ′ Ωpii =ϕ(u), d. h. ϕ(u) ist ebenfalls eine doppeltperiodische Funktion mit den Perioden Ω undΩ′. Es wird und ϕ(u)= 0 fu¨r u=β1,β2 . . .βn ϕ(u)=∞ ” u=α1,α2 . . .αn und nur fu¨r diese Werte und zwar fu¨r jeden einfach null resp. einfach unend- lich. Daher wird die doppeltperiodische eindeutige Funktion F(u) ϕ(u) fu¨r keinen Wert vonu innerhalb des Periodenparallelogrammes null oder unendlich, sie ist folglich eine Konstante, also ist F(u) = cϕ(u) = c ϑ1(u−β1)ϑ1(u−β2)· ··ϑ1(u−βn) ϑ1(u−α1)ϑ1(u−α2)· ··ϑ1(u−αn) e2κ u Ωpii,