Page - 77 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

77 Da ϕ′ (c 2 +u ) =−ϕ′(c2−u) ist, so ergiebt sich, wie fru¨her, dass fu¨r u=Ω2 , Ω′ 2 , Ω+Ω′ 2 ϕ′ ( c 2 + Ω 2 ) =−ϕ′ ( c 2 + Ω 2 ) = 0 ϕ′ ( c 2 + Ω′ 2 ) =−ϕ′ ( c 2 + Ω′ 2 ) = 0 ϕ′ ( c 2 + Ω+Ω′ 2 ) =−ϕ′ ( c 2 + Ω+Ω′ 2 ) = 0 sein muss.u= 0 ist hier keine Nullstelle, daϕ′ (c 2 ) =∞ ist. Es ist also ϕ′ (c 2 +u ) = 0 fu¨r u=Ω2 , Ω′ 2 , Ω+Ω′ 2 ϕ′ (c 2 +u ) =∞ ” u= 0, 0, 0, oder es ist ϕ′(u) = 0 fu¨r u≡ c2 +Ω2 , c2 +Ω ′ 2 , c 2 + Ω+Ω′ 2 ϕ′(u) =∞ ” u= c2, c2, c2, hierbei ist c2 =γ1 die dreifache Unendlichkeitsstelle vonϕ(u). 18. Jede eindeutige doppeltperiodische Funktion nter Ordnung F(u) la¨sst sich rational durch die doppeltperiodische Funktion zweiter Ordnung ϕ(u) und ihre Ableitungϕ′(u) ausdru¨cken, welche dieselben Perioden besitzen wie F(u). Wir beweisen zuerst folgenden einfacheren Satz: Jede gerade doppeltpe- riodische Funktion la¨sst sich rational durchϕ (c 2 +u ) allein ausdru¨cken. Ist na¨mlich f(u) =f(−u), so wird f(u) = 0 fu¨r u≡±β1,±β2 . . .±βm f(u) =∞ fu¨r u≡±α1,±α2 . . .±αm } (modΩ,Ω′), indem wir voraussetzen, dass, wenn β1 im ersten Periodenparallelogramme liegt, man fu¨r−β1 setzte:mΩ+m1Ω′−β1 undm,m1 so als ganze Zah- len wa¨hle, dass auchmΩ+m1Ω ′ 1−β1 ins erste Periodenparallelogramm falle. Man sieht leicht ein, dassm undm1 nur die Werte 0, 1 anzunehmen brauchen. So denken wir uns alle Null- und Unendlichkeitsstellen von f(u)