Page - 88 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

IV. Elliptische Funktionen. 22. Wir gehen u¨ber zu den speziellen doppeltperiodischen Funktionen zwei- ter Ordnung, die wir folgendermassen definiren: s(u) = c1 ϑ1(u) ϑ0(u) , c(u) = c2 ϑ2(u) ϑ0(u) , ∆(u) = c3 ϑ3(u) ϑ0(u) , wobei c1, c2, c3 so bestimmt werden sollen, dass s (ω 2 ) = 1, c(0) = 1, ∆(0) = 1, ist, also c1 = ϑ0 (ω 2 ) ϑ1 (ω 2 ), c2 = ϑ0ϑ2, c3 = ϑ0ϑ3 und nach den Formeln auf S. 56 ergiebt sich ϑ0 (ω 2 ) ϑ1 (ω 2 )= ϑ3 ϑ2 , also wird s(u) = ϑ3 ϑ2 ϑ1(u) ϑ0(u) ; c(u) = ϑ0 ϑ2 ϑ2(u) ϑ0(u) ; ∆(u) = ϑ0 ϑ3 ϑ3(u) ϑ0(u) . (2) Diese drei Funktionen heissen elliptische Funktionen und sind eindeutig in u und zwar ist s(u) eine ungerade, c(u) sowie∆(u) eine gerade Funktion vonu, da s(−u) =−s(u), c(−u) = c(u), ∆(−u) =∆(u) (3) ist, wie sich aus den Formeln (6) S. 55 ergiebt. Aus den Periodengleichungen I fu¨r dieϑ-Funktionen S. 53, folgt s(u+ω) =−s(u) s(u+ω′) = s(u) (4) c(u+ω) =−c(u) c(u+ω′) =−c(u) ∆(u+ω) = ∆(u) ∆(u+ω′) =−∆(u). Daher ist s(u+2ω) = s(u) s(u+ω′) = c(u) c(u+2ω) = c(u) c(u+ω+ω′) = c(u) ∆(u+ω) =∆(u) ∆(u+2ω′) =∆(u), (5)