Page - 101 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

101 d. h. f(u) wird im ersten Periodenparallelogramm nur unendlich fu¨r u≡−v+ 12ω′, −v+ω+ 12ω′, v− 12ω′, v−ω− 12ω′ und da v ganz willku¨rlich ist, so sind diese vier Werte einander nicht kongru- ent nach den Perioden, denn wa¨re beispielsweise −v+ 12ω≡v− 12ω′, so mu¨sste −2v≡0 (mod 2ω,ω′) sein, also v einen der vier Werte −ω, −ω′2 , −ω−ω ′ 2 , 0 haben. UnsereFunktionf(u) ist alsobeiwillku¨rlichgelassenemvvonder4.Ord- nung. Suchen wir nun die vier Nullstellen derselben. Soll f(u) = s(v+u)+s(v−u) = 0 sein, so ist s(v+u) =−s(v−u) = s(v−u+ω), also v+u=v−u+ω+2mω+m′ω′, womundm′ ganze Zahlen bedeuten. Aus der letzten Gleichung folgt 2u= (2m+1)ω+m′ω oder u= (2m+1)ω2 +m ′ω′ 2 . Von diesen Werten fallen in das Periodenparallelogramm 2ω,ω′ die vier fol- genden: u= ω2 , 3ω 2 , ω+ω′ 2 , 3ω+ω′ 2 . Diese vier Nullstellen mu¨ssen fu¨r f(u) einfache Nullstellen sein, da f(u) von der 4. Ordnung ist. Man u¨berzeugt sich u¨brigens leicht, dass f′(u) fu¨r diese