Page - 103 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

103 also ist s(v+u)+s(v−u) = 1 G 2svs′u 1−κ2s2vs2u, woraus s(v+u)+s(u−v) = 1 G 2sus′v 1−κ2s2us2v (18a) folgt, wenn man in der erstenumit v vertauscht. Beachtet man, dass nach Gleichung (15) s′u=Gcu∆u ist, so wird s(u+v)+s(u−v) = 2sucv∆v 1−κ2s2us2v s(u+v)−s(u−v) = 2svcu∆u 1−κ2s2us2v (18b) Durch Addition und Subtraktion ergiebt sich schliesslich s(u+v) = sucv∆v+svcu∆u 1−κ2s2us2v s(u−v) = sucv∆v−svcu∆u 1−κ2s2us2v , (19a) welche Formeln das Additionstheorem fu¨r die Funktion s(u) aussagen. Setzt man c(v+u)+c(v−u) =f(u) c(v+u)−c(v−u) =ϕ(u), so ersiehtman,dassf(u)undϕ(u)nurunendlichwerden,wenn c(v+u) oder c(v−u) unendlich wird d. h. fu¨r Werte vonu fu¨r die 1−κ2s2vs2u verschwindet, wie wir soeben bei der Funktion s(v+u) sahen. Es wird f(u) = 0, u= ω2 , 3ω 2 , ω+ ω′ 2 , 2ω+ ω′ 2 ϕ(u) = 0, u= 0, ω, ω+ω ′ 2 , 3ω+ω′ 2 ,