Page - 116 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

116 VI. Additionstheoreme der Thetafunktionen. Nun kann manN umformen in N= 2 [ ηu′+(η+%)v′+(η+σ)w′+(η−%−σ)t′] + [ η2 4 + (η+%)2 4 + (η+σ)2 4 + (η−σ−%)2 4 ] ω′ + [ ηη′ 2 +(η+%) η′+%′ 2 +(η+σ) η′+σ′ 2 +(η−%−σ)η ′−%′−σ′ 2 ] ω = 2 [ ηu′+(η+%)v′+(η+σ)w′+(η−%−σ)t′] + [ η2 + % 2 4 + σ2 4 + (%+σ)2 4 ] ω′+ [ 2ηη′+%%′+σσ′+ %σ ′+%′σ 2 ] ω. Mithin ist Mεε′−N= ε′ηω, also e− pii ω [Mεε′−N] = e−ε′ηpii= (−1)−ε′η= (−1)ε′η und da ϑ(2u,ε+2η,ε′+2η′) = (−1)εη′ϑ(2u,ε,ε′) ist nach der Gleichung (b), so folgt einfach cϑ(2u′,η,η′)ϑ(2v′,η+%,η′+%′)ϑ(2w′,η+σ,η′+σ′)× ϑ(2t′,η−%−σ,η′−%′−σ′) = ∑ ε,ε′ (−1)εη′+ε′ηϑ(2u,ε,ε′)× ϑ(2v,ε+%,ε′+%′)ϑ(2w,ε+σ,ε′+σ′)ϑ(2t,ε−%−σ,ε′−%′−σ′). Hierbei sind ηη′, %%′, σσ′ beliebige ganze Zahlen, die man aber nicht gro¨sser als 0 und 1 zu nehmen braucht. Die vorstehende Gleichung giebt uns ein Mittel an die Hand, die Kon- stante c zu bestimmen. Wir setzen in derselben %= 0, %′= 0,σ= 0,σ′= 0 und erhalten: cϑ(2u′,η,η′)ϑ(2v′,η,η′)ϑ(2w′,η,η′)ϑ(2t′,ηη′) = ∑ εε′ (−1)εη′+ε′ηϑ(2u,ε,ε′)ϑ(2v,ε,ε′)ϑ(2w,ε,ε′)ϑ(2t,ε,ε′). Wirsummirennunrechtsundlinks u¨berallezula¨ssigenη,η′underhalten,