Page - 130 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

VII. Realita¨tsbetrachtungen fu¨r die Funktionen su,cu,∆u. 33. EssollenhiernochBetrachtungen u¨berdie reellenundkomplexenWerte der elliptischen Funktionen angestellt werden. Es ist su= ϑ3 ϑ2 ϑ1u ϑ0u = 1+2 ∑∞ n=1q n2∑∞ n=1q n(n−1) · ∑∞ n=1(−1)n−1qn(n−1)sin(2n−1)uωpi 1+2 ∑∞ n=1(−1)nqn2cos2nuωpi cu= ϑ0 ϑ2 ϑ2u ϑ0u = 1+2 ∑∞ n=1(−1)nqn 2∑∞ n=1q n(n−1) · ∑∞ n=1q n(n−1)cos(2n−1)uωpi 1+2 ∑∞ n=1(−1)nqn2cos2nuωpi (37) ∆u= ϑ0 ϑ3 ϑ3u ϑ0u = 1+2 ∑∞ n=1(−1)nqn 2 1+2 ∑∞ n=1q n2 · 1+2 ∑∞ n=1q n2cos2nuωpi 1+2 ∑∞ n=1(−1)nqn2cos2nuωpi , wobei q= e ω′ ωpii ist. Setzt man in diese Gleichungen u ω =x+ iy, q= e(α+βi)pii= e−βpi(cosαpi+ isinαpi) ein, wenn ω ′ ω =α+ iβ gesetzt wird, und trennt die reellen und imagina¨ren Theile, so nehmen jede der drei Funktionen die Form P+ iQ an. P und Q sind reelle Funktionen von x, y. Will man nun die Werte von u haben, welche den reellen Werten der doppeltperiodischen Funktion entsprechen, so hat man nurQ= 0 zu setzen, wodurch man eine Relation zwischen x und y erha¨lt. Zu jedem Werte xwu¨rden sich ein oder mehrere Werte von y ergeben, so dass fu¨r den Wert uω = x+ iy die doppeltperiodische Funktion einen reellen Wert annimmt. Man ersieht hieraus, dass die Werte von u, fu¨r welche die doppeltperiodische Funktion reelle Werte annimmt, innerhalb des Periodenparallelogrammes gewisse Linien erfu¨llen. Diese Linien mu¨ssen fu¨r su jedenfalls durch u= 0, u= ω2 , u=ω, u= 3 ω 2 und u= ω ′ 2 , u=ω+ ω′ 2 gehen, denn es ist s(0) = 0, s (ω 2 ) = 1, s(ω) = 0, s ( 3ω 2 ) =−1, s ( ω′ 2 ) =∞, s ( ω+ ω ′ 2 ) =∞,