Page - 161 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

161 Wir sehen also, dass die Elementarperioden unabha¨ngig sind von der Art der Zerschneidung von T ebenso wie von der Art, wie wir die Verzwei- gungsschnitte inT annehmen, wesentlich nur von den Werten a1, a2, a3, a4 abha¨ngen. 42. Die Funktion w(x) = ∫ x x0 dx√ A(x−a1)(x−a2)(x−a3)(x−a4) wird,wiewirgleichzeigenwerden, fu¨rkeinen Wertvonxunendlichundheisst ein u¨berall endliches Integral auf der Riemann’schen Fla¨cheT, welche zu der Funktion y= √ A(x−a1)(x−a2)(x−a3)(x−a4) geho¨rt. w(x) ko¨nnte unendlich werden fu¨r x= a1, a2, a3, a4 oder fu¨r x=∞. Fu¨r alle anderen Werte verha¨lt sich der Integrand regula¨r und kann w(x) daher nicht unendlich werden. Es sei x in der Umgebung von a1 gelegen. Wir nehmen x1 ebenfalls in der Umgebung von a1 an und schreiben w(x) = ∫ x1 x0 dx y + ∫ x x1 dx y , wo der Integrationsweg des zweiten Integrals ganz in die Umgebung von a1 fallen soll. Da das erste Integral jedenfalls endlich ist, sobald wir vorausset- zen, was wir thun wollen, dass der Integrationsweg durch keinen der Punkte a1, a2, a3, a4 oder∞ fu¨hrt, in denen wir das Verhalten noch nicht kennen, so bleibt nur das ∫x x1 dx y auf seine Endlichkeit zu untersuchen u¨brig. Wir setzen 1√ A(a1−a2)(a1−a3)(a1−a4) =B, so istB endlich. Da die Funktion 1√ A(x−a2)(x−a3)(x−a4) fu¨rx=a1 endlich und von Null verschieden ist, ebenso ihre Differentialquo- tienten, so ko¨nnen wir dieselbe nach dem Taylor’schen Theorem entwickeln und erhalten fu¨r die Umgebung von a1 1√ A(x−a2)(x−a3)(x−a4) =B+B1(x−a1)+ · ··