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178 III. Das elliptische Normalintegral so istK2 reell und positiv, da z ′2< 1κ21 ist und z′ reelle Werte durchla¨uft. Es ist dann K1 =K+ iK2. Bildet man nun wieder, wie fru¨her, die Riemann’sche Fla¨che auf die u-Ebene ab, so wird der Kurve B (Fig. 54) die Achse der reellen Zahlen ab entsprechen und einer gewissen KurveAwird die Gerade ad resp. bc ent- sprechen, so zwar, dass ad die Summe aus 2K und 2iK2 ist. Fig. 54. Wir wissen aus Fru¨herem, dass wenn ω′=ω+ iω2 ist, oder 2K1 = 2(K+ iK2), woω1,ω2 resp.K undK2 reell sind, dann die doppeltperiodische Funktion s(u) ein Parallelogramm besitzt, das wie abcd beschaffen ist (S. 134 u. ff.). 49. Wir wollen nun noch folgenden wichtigen Satz beweisen: Jedes Integral w= ∫ x x0 dz√ R(x) , worinR(x) eine ganze rationale Funktion vierten oder dritten Grades in x ist, la¨sst sich durch eine lineare Transformation in das Integral v=M ∫ z z0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) verwandeln; wobeiM eine Konstante und x= α+βz γ+δz , x0 = α+βz0 γ+δz0