Page - 185 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

185 ist, muss γ+δz= 0 sein, also z=−γ δ , d. h. es ist x=∞. Aus dem Doppelverha¨ltnis der vier Wertepaare folgt( 1−κ 1+κ )2 = a1−a3 a2−a4 = ε die Gleichung fu¨rκ. 52. Das Integral u= ∫ z 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) nennt man nach Legendre das Normalintegral I. Gattung, indem auf diese Form jedes elliptische Integral von der Art w= 1 M ∫ x x0 dx√ R(x) , worinR(x) eine rationale ganze Funktion dritten oder vierten Grades ist, zuru¨ckgefu¨hrt werden kann. Wir sahen, dassuundw fu¨r keinen Wert von z unendlich werden. Ersteres soll das u¨berall endliche Normalintegral, letzteres das allgemeine u¨berall endliche Integral heissen.Mannenntκden Modul des Integrals. Ich will noch eine Umformung des Integrals u erwa¨hnen, die von Legendre eingefu¨hrt wurde. Setzt man z= sinϕ, so wird dz= cosϕdϕ= √ 1−z2dϕ, also dz√ (1−z2)(1−κ2z2) = dϕ√ 1−κ2sin2ϕ und folglich, da fu¨r z= 0 auchϕ= 0 ist, u= ∫ ϕ 0 dϕ√ 1−κ2sin2ϕ . (17)