Page - 187 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

187 also ist dz′√ (1−z′2)(1−κ′2z′2) = i dz√ (1−z2)(1−κ2z2). (21a) Nun wird fu¨r z= 1· ··z′= 1, fu¨r z= 1κ · ··z′= 0, also ist∫ 1 κ 1 dz√ (1−z2)(1−κ2z2) = 1 i ∫ 0 1 dz′√ (1−z′2)(1−κ′2z′2) = i ∫ 1 0 dz′√ (1−z′2)(1−κ′2z′2). Hierbei ist vermo¨ge (21) dem Integrationswege von z der von z′ zugeordnet. Durchla¨uft z die reellen Werte von 1 bis 1κ, so wird, im Falle κ 2 reell ist, auch z′ die reellen Werte von 1 bis 0 durchlaufen. Setzt man ∫ 1 0 dz√ (1−z2)(1−κ′2z2) =K ′, wobeiK′ vonκ′ gerade so abha¨ngt, wieK vonκ, so wirdK1 = iK′, und wenn z= sinϕ gesetzt wird, K′= ∫ pi 2 0 dϕ√ 1−κ′2sin2ϕ . (20b) Wir ersehen also, dass wennκ reell und kleiner als 1 ist, sowohlK alsK′ reell sind, da dann auchκ′ kleiner als 1 ist. Es sind u¨berdiess beide Gro¨ssen positiv.