Page - 189 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

189 Dann ist 1√ (ζ2−1)(ζ2−κ2) = 1 κ +A1ζ+A2ζ 2 +A3ζ 3 + · ·· . Die Entwicklung muss in der Umgebung von ζ = 0 so lange |ζ|< |κ| gelten, da |κ|<1 ist, also auch fu¨r−ζ, d. h. es ist auch 1√ (ζ2−1)(ζ2−κ2) = 1 κ −A1ζ+A2ζ2−A3ζ3 + · ·· . Beide Gleichungen ko¨nnen nur bestehen, wenn A1 = 0, A3 = 0· ·· , A2ν+1 = 0 ist. Mithin ist 1√ (ζ2−1)(ζ2−κ2) = 1 κ +A2ζ 2 +A4ζ 4 + · ·· und ∫ dz ζ2 √ (ζ2−1)(ζ2−κ2) = 1 κ ∫ dζ ζ2 +A2 ∫ dζ+A4 ∫ ζ2dζ+ · ·· = 1 κζ +A2ζ+ 1 3 A4ζ 3 + · ·· und daher ist J=J1 +C− 1 κζ −A2ζ− 1 3 A4ζ 3−··· , wo C die Integrationskonstante bedeutet, die dadurch bestimmt ist, dass J=J1 fu¨r ζ= ζ1 ist. AusderobigenEntwicklungnunsiehtman,dassJ fu¨r ζ= 0,d.h.z=∞ unendlich wird wie 1ζ resp. wie z, d. h. das Integral Jwird fu¨r z=∞ in dem einen und anderen Blatte der Riemannschen Fla¨che der Funktion y= √ (1−z2)(1−κ2z2) einfach unendlich. Die Entwicklung im anderen Blatte, fu¨r das−κ gilt fu¨r ζ= 0, ist: J=J2 +C1 + 1 κζ +A2ζ+ 1 3 A4ζ 3 + · ·· .