Page - 201 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

201 sein. Nun ist 2 ·4 · ··2n 1 ·3· ··2n−1 z2ndz√ 1−z2 = dz√ 1−z2−d [ Gn(z) √ 1−z2 ] , wobei G1(z) = z G2(z) = z+ 2 3z 3 ... Gn(z) = z+ 2 3z 3 + 2·43·5z 5 + · ·· 2·4···2n−21·3···2n−1z2n−1              (29) sich ergiebt. Setzt man Cn= 1 ·3 · ··2n−1 2 ·4 · ··2n , so wird ∫ z 0 z2ndz√ 1−z2 =Cn ∫ z 0 dz√ 1−z2−CnGn(x) · √ 1−z2 =Cnarcsinz−Cn √ 1−z2Gn(x); eine Konstante ist rechter Hand zuzufu¨gen nicht no¨thig. Fu¨hrt man diesen Wert des Integrales in die rechte Seite von (a) ein, und setzt K= 1+c21κ 2 +c22κ 4 + · ·· = 1+ ( 1 2 )2 κ2 + ( 1 ·3 2 ·4 )2 κ4 + ( 1 ·3 ·5 2 ·4 ·6 )2 κ6 + · ·· , so wird u=Rarcsinz− √ 1−z2 ∞∑ n=1 C2nκ2nGn(z), wo die Summe der rechten Seite wegen der Gro¨sseκ2, deren Modul kleiner als 1 ist, fu¨r kleine Werte von |z| gut konvergirt. Sie konvergirt jedenfalls, so lange |κz|<1 ist, also fu¨r z= 1, und dau=Kwird, so folgt K=K pi 2