Page - 215 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

215 und d2 logϑ0u du2 = ϑ′′0 ϑ0 −κ2s2u, (a) hieraus s2u= 1 κ2 ϑ′′0 ϑ0 − 1 κ2 d2 logϑ0u du , mithin ∫ u 0 s2udu= 1 κ2 ϑ′′0 ϑ0 u− 1 κ2 d logϑ0u du (31) Es ergiebt sich also J(u) = 1 κ2 ϑ′′0 ϑ0 u− 1 κ2 ϑ′0u ϑ0u (31) u= ∫ z 0 dz√ (1−z2)(1−κ2z2). Hatmanfu¨r irgendeinenWertvonzdaszugeho¨rigeuberechnet, so liefert die Formel (31) den Wert von J fu¨r dasselbe z. Es ist J (ω 2 ) =J(K) =E= 1 κ2 ϑ′′0 ϑ0 K, da ϑ0 ( u−ω 2 ) =ϑ3(u), also ϑ′0 ( u−ω 2 ) =ϑ′3(u), ist, mithin ϑ′0 ( −ω 2 ) =−ϑ′0 (ω 2 ) =ϑ′3(0) = 0 sich ergiebt. Man nenntE das ganze elliptische Integral II. Gattung und es ist E= K κ2 ϑ′′0 ϑ0 = ∫ 1 0 z2dz√ (1−z2)(1−κ2z2), da fu¨ru= ω2 =K sich z= 1 ergiebt. Fu¨hrt manE ein, so wird (31) die Form J(u) = E K u− 1 κ2 ϑ′0(u) ϑ0(u)