Page - 227 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

227 woP(Z′,Z′′) eine rationale Funktion vonZ′,Z′′ ist. Die log ϑ1(u−αi) ϑ1(u−β) fu¨hren auf Integrale III. Gattung, ko¨nnen aber durch Vereinigung auch Logarithmen rationaler Funktionen vonZ′ undZ′′ geben. Die rationaleGleichung,welchezwischenZ′′undZ′bestehenmuss,wird, daZ′ von der zweiten Ordnung unendlich fu¨ru= 0 wird, von der Form sein (Z′′)2 =G2(Z′3 +BZ′2 +CZ′+D), wobei sichB,C,D leicht aus den Gleichungen (43) bestimmen, denn es ist Z′(u)−ϑ ′′ 0 ϑ0 =− 1 s2u (Z′′u)2 = 4(s ′u)2 s6u = 4 (1−s2u)(1−κ2s2u) s6u = 4 ( 1− 1 s2u )( κ2− 1 s2u ) 1 s2u . Also ist (Z′′)2 =−4 ( Z′+1−ϑ ′′ 0 ϑ0 )( Z′+κ2−ϑ ′′ 0 ϑ0 )( Z′−ϑ ′′ 0 ϑ0 ) , welches die verlangte Gleichung ist.