Page - 233 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

233 Setzt man fu¨r %y einfach y, so hat die Gleichung auch die Form (x−m)y2 +2xy+λ%x(x− l) = 0. Hierbei kann λ% stets positiv gemacht werden, denn wa¨re λ%< 0, so wu¨rde die Substitutionx′=−x, y′=y auf die Gleichung (x′+m)y′2 +2x′y′−λ%x′(x′+ l) = 0 fu¨hren. Setzt man daherλ%= c2, so kann c stets reell angenommen werden, wenndieKurvedritterOrdnungreell istund ihreGleichungkanndaher stets auf die reelle Form (x−m)y2 +2xy+c2x(x− l) = 0 (7) gebracht werden und es ist c2(x− l)(x−m)−x≡ c2(x−a1)(x−a2), wobei a1>a2 sein soll, wenn beide Gro¨ssen reell sind. Aus (7) ergiebt sich y= −x± √ x[x−c2(x− l)(x−m)] x−m y= −x±c√−x(x−a1)(x−a2) x−m        (8) also y eine irrationale Funktion vonx. Setzen wir aber Y = √ −x(x−a1)(x−a2) und w= ∫ x x0 dx Y , so wissen wir, dass x und Y eindeutige doppeltperiodische Funktionen des Argumenteswwerden, dass also x=ϕ(w), Y =ψ(w), mithin auch y=Φ(w) eine eindeutige doppeltperiodische Funktion vonwwird. Um eine bekannte Form dieser Funktion zu erhalten, brauchen wir nurw auf die Normalform zu transformiren.