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236 I. Kurven dritter Ordnung Diese Gleichungen kann man noch etwas transformiren. Dax=m,y=ndie Koordinaten des PunktesM (Fig. 55) sind, dem ein Wertu=µ entsprechen soll, so muss m= √ a1a2 1−sµ 1+sµ n=− cµ 1+sµ cµ+2ac∆µ (1−µ)+ m√a1a2(1+sµ) sein; nun giebt die erste m√ a1a2 (1+sµ)+(1−sµ) = 0, d. h. die zweite wu¨rden=∞ geben, wenn nicht cµ+2ac∆µ= 0 wa¨re. Dan endlich ist, so muss also 2ac=− cµ ∆µ und m√ a1a2 =−1−sµ 1+sµ sein. Dann nehmen die Gleichungen (11) die Gestalt an: x=−√a1a2 1−su 1+su =ϕ(u) y= cu 1+su cu∆µ−cµ∆u su−sµ 1+sµ ∆µ =Φ(u).        (12) Es bietet weiter fu¨r uns kein Interesse diese Funktionen von u in solche von w zu verwandeln. Da die Gleichungen (12), resp. (11) die Gleichung (8) oder (7) identisch erfu¨llen fu¨r alle Werte von u, sobald nur κ aus der Gleichung (9) bestimmt ist, so haben wir in (12) die Koordinaten der Kur- ve dritter Ordnung, deren Gleichung, ohne die Allgemeinheit der Kurve zu beeintra¨chtigen, in der Form (7) angenommen werden kann, als doppeltperi- odische Funktionen eines Parameters dargestellt. 3. Die Form der Gleichungen (11) oder (12) erlauben auch den Verlauf der Kurve dritter OrdnungC3 zu u¨bersehen. Wir setzen die letztere reell voraus, also in (7) reelle Koeffizienten, und unterscheiden zwei Fa¨lle.