Page - 239 - in Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen

239 5. Setzt man u¨berhaupt %x1 =A1Θ1(u−α1)Θ1(u−α2)Θ1(u−α3)e2µ pii Ωu %x2 =A1Θ1(u−β1)Θ1(u−β2)Θ1(u−β3)e2ν pii Ωu %x3 =A1Θ1(u−γ1)Θ1(u−γ2)Θ1(u−γ3)        (15) und α1 +α2 +α3 =α β1 +β2 +β3 =β γ1 +γ2 +γ3 =γ so sind unter der Bedingung∗) α=γ+µ′Ω−µΩ′ β=γ+ν′Ω−νΩ′ } (15a) die Quotienten x1x3 und x2 x3 doppeltperiodische Funktionen von u mit den PeriodenΩ,Ω′, wennΘ1(u) den Gleichungen (14) genu¨gt. (Siehe Satz 16, S. 72.) Folglich besteht zwischen x1x3 und x2 x3 eine rationale Gleichung, die den dritten Grad nicht u¨bersteigt. Denn ist f ( x1 x3 , x2 x3 ) = 0 diese Gleichung, so wird dieselbe durch die doppeltperiodischen Funktionen x1 x3 =ϕ(u) = A1 A3 Θ1(u−α1)Θ1(u−α2)Θ1(u−α3) Θ1(u−γ1)Θ1(u−γ2)Θ1(u−γ3) e2µ u Ωpii x2 x3 =Φ(u) = A2 A3 Θ1(u−β1)Θ1(u−β2)Θ1(u−β3) Θ1(u−γ1)Θ1(u−γ2)Θ1(u−γ3) e2ν u Ωpii identisch erfu¨llt. Ist nun ax1 +bx2 +cx3 = 0 die Gleichung einer beliebigen Geraden, so wird Ψ(u) =aϕ(u)+bΦ(u)+c ∗) Fu¨hrt man statt u...u′+ 13γ ein, so wirdα ′ i=αi− 13γ, β′i=βi− 13γ, γ′i=γi− 13γ und daher α′= α−γ = µ′Ω−µΩ′, β′= β−γ = ν′Ω−νΩ′ und γ′= 0 so dass die Annahme γ= 0 keine Beschra¨nkung ist.