Page - 42 - in Chromatisch konfokale Triangulation - Hochgeschwindigkeits 3D-Sensorik auf Basis der Wellenlängenschätzung mit optimierten Filtern

4 ModellierungchromatischerSensoren betrachtetwerden.DiesebeschreibtdenBeugungswinkelγdiff inAbhängig- keitderbetrachtetenBeugungsordnungm,demEinfallswinkelγeinunddes GitterperiodenabstandsdG.Mit(4.16)und(4.17)ergibtsichdanndiegesuch- te Abhängigkeit h(λF)= sin(θ)dB 2tan(αNA)tan ( θ−arcsin ( sin(γin)+mGλFdG )) (4.18) ≈a1λF+a2. (4.19) FürexemplarischeWertezeigtderZusammenhangh(λF)eineapproximative lineareAbhängigkeit.InAbbildung4.8istdemexaktenZusammenhang(4.18) die lineareApproximation (4.19) gegenübergestellt. Wie bereits angesprochenbasiert dieHerleitung von (4.16) auf einer ver- gleichsweise einfachenPrinzipskizze. Fürdie spätereAnwendung ist das Verhalteneiner realenmehrlinsigenOptik relevant,weswegen imFolgen- dendieAbhängigkeith(λF) für eine simulierteOptikbetrachtetwird.Die betrachteteOptikwurdemitderOptikdesign-SoftwareZemax™entworfen undist inAbbildung7.14dargestellt.DierealeCCT-Optikzeigteinenstarken linearenZusammenhang (4.19)mit einermaximalenAbweichungvon13 μmvonderNäherung (4.19) (vgl. Abbildung4.9). ImFolgendenwirdvoneinemlinearenZusammenhangzwischenObjekthö- heundfokussierterWellenlängeausgegangen.DieseAnnahmevereinfacht vielenoch folgendeBetrachtungenaufdemGebiet der Schätztheorie. So kannäquivalent inderDomänederWellenlängenschätzungsowiebezüg- lich derHöhenschätzung argumentiert werden. Existiert ein linearer Zu- sammenhang,kannz.B.eineAussagederMessunsicherheitbezüglichder HöhenschätzungdurcheinesimpleSkalierung ineineAussagebezüglich derSchätzungderfokussiertenWellenlängeübertragenwerden.InderAn- wendungmussdieseAnnahmefür jedeOptiküberprüftwerden.Umden exaktenZusammenhang(4.18)zuberücksichtigen,mussdieser indenGlei- chungen (4.20) und (4.21) verwendetwerden. 42