Page - 18 - in Entwicklung und Anwendung explizit korrelierter Wellenfunktionsmodelle

2.ExplizitkorrelierteSto¨rungstheorie 2.5 Integrale fu¨r F12-Methoden Im Rahmen des Obara-Saika-Schemas werden die Integrale mittels Rekursionsbe- ziehungenberechnet [97]. Diese setzendie analytische Berechnung einigerweniger Grundintegrale I0 voraus: I0[g(r12)] ∝ G0(ρ,T) , (2.61) I (n) 0 [g(r12)] ∝ Gn(ρ,T) . (2.62) Dabei bedarf es einesGrundintegrals I0 fu¨r jeweils einenOperator g(r12) (nicht zu verwechselnmit g12).Alle Integrale sowie sa¨mtliche Intermediatemu¨ssenalsFunk- tionvon ρundTdarstellbarundbeliebigoft differenzierbar sein: G0(ρ,T) = ∫ e−ρ|~r− ~P+~Q| 2 g(r)d3~r , (2.63) Gn(ρ,T) = ( − ∂ ∂T )n G0(ρ,T) . (2.64) Das implementierteObara-Saika-Schema soll hier nicht imDetail besprochenwer- den [98]. Eswerden lediglichdieGro¨ßenT,ρ,~Pund ~Q,welche Funktionender Ex- ponentena,b,c,ddervierGauß-BasisfunktionenandenZentren ~A, ~B, ~Cund ~D sind, definiert: p= a+b, q= c+d, ρ= pq p+q , (2.65) ~P= a~A+b~B a+b , ~Q= c~C+d~D c+d , (2.66) T= ρ|~P− ~Q|2. (2.67) Die Notation folgt hierbei den zitierten Vero¨ffentlichungen. Um Integrale zu im- plementieren,werdennur dieGrundintegraleG0(ρ,T) und ihre n-tenAbleitungen Gn(ρ,T)beno¨tigt. Fu¨rdie Integrale seiennochdieHilfsgro¨ßen ρ˜i= ωi ρ+ωi , ρˆi= ρ ρ+ωi (2.68) eingefu¨hrt,welchevomExponentωidesgena¨hertenSTGabha¨ngen. Den einfachsten Fall stellt das Integral u¨ber den Korrelationsfaktor g(r12) = f(r12)= ∑ iciexp(−ωir 2 12)dar. IndiesemFall lautendie Integrale G0(ρ,T) = ∑ i ci ( π ρ+ωi )3 2 exp(−ρ˜iT), (2.69) Gn(ρ,T) = ∑ i ci ρ˜ n i ( π ρ+ωi )3 2 exp(−ρ˜iT). (2.70) 18