Page - 50 - in Entwicklung und Anwendung explizit korrelierter Wellenfunktionsmodelle

4.DerGradient fu¨rRI-MP2-F12 Intermedia¨reGro¨ßen UnterBeru¨cksichtigungderAbleitung fu¨r inverseMatrizen d dx M−1 = −M−1M[x]M−1 (4.87) ergibt sich fu¨rdasCoulomb-Integral [132] (µν|g12|κλ) [x] DF = ∑ P [(µν|g|P)[x]gΓPκλ+ g Γ P µν(P|g|κλ) [x]]− ∑ PQ g Γ P µν(P|g|Q) [x]g Γ P κλ . (4.88) Fu¨rdienachdemrobustenDensity-FittingberechnetenIntegrale f= fg, f2r2, f kann manzusammenfassendschreiben: (µν|f12|κλ) [x] DF = ∑ P (µν|f12|P) [x] g Γ P κλ+ ∑ P g Γ P µν(P|f12|κλ) [x] + ∑ P [fΓPµν+ f Γ˜ P µν](P|g12|κλ) [x]+ ∑ P (µν|g12|P) [x][fΓPκλ+ f Γ˜ P κλ] + ∑ PQ [−gΓPµν f Γ˜ Q κλ− g Γ P κλ f Γ˜ Q µν− f Γ P µν g Γ Q κλ− g Γ Q µν f Γ P κλ](P|g12|Q) [x] − ∑ PQ g Γ P µν(P|f12|Q) [x] g Γ Q κλ . (4.89) DieGro¨ßenΓ sindwie folgtdefiniert (hier amBeispiel von f= f12): f Γ P κλ = ∑ Q (P|g12|Q) −1(Q|f12|κλ)= ∑ Q (P|g12|Q) −1/2FQκλ , (4.90) f Γ˜ P κλ = − ∑ QR (P|g12|Q) −1/2U f QRG R κλ . (4.91) WeitereDetails zuDefinitionen einzelnerGro¨ßen sind inKapitel 5 beschrieben. Es sei darauf hingewiesen, dass z.B. fΓPκλ nicht aus dem Intermediat F˜ Q κλ, sondern aus FQκλ berechnetwird. Fu¨rdie Integrale u¨berdenOperator t12deutetdiehier verwendeteSchreibweise alleindieAbleitungdes reinen2-Elektronen-Teils an (zurDiskussionderAbleitung der Transformationsmatrix siehe 4.4.1). Zuna¨chst erfolgt die Kontraktion mit den 50