Page - 51 - in Entwicklung und Anwendung explizit korrelierter Wellenfunktionsmodelle

4.4. Gradient fu¨rAnsatz 3 MOsC∑ r′ 〈p|(Tˆ1+Vˆne)|r ′〉(r′q|f12|Q) = ∑ µν ∑ r′ 〈p|hˆ|r′〉Cr′µ︸ ︷︷ ︸ C [T+V] pµ =Cp˘µ Cqν(µν|f12|Q) (4.92) = ∑ µν Cp˘µCqν(µν|f12|Q) , (4.93) wobei˘die [T+V]-transformiertenOrbitalekennzeichnet.ZurVerbesserungderLes- barkeitwird zusa¨tzlich noch ein kalligraphisches C verwendet.Weiterhinwird die abku¨rzendeNotation (mq′′|t12|nI) [x] = X˘mnq′′I(mq ′′|f12|nI) [x] (4.94) eingefu¨hrt. Der Operator X˘mnpq fu¨hrt dabei eine symmetrisierte [T+V]-Transfor- mation fu¨r beliebige 4-Index-Gro¨ßenEdurch: X˘mnpqE(m,n,p,q) = E(m˘,n,p,q)+E(m,n˘,p,q) −E(m,n, p˘,q)−E(m,n,p, q˘) . (4.95) Daru¨berhinaus sei eineweitere intermedia¨reDichteΓ eingefu¨hrt: Γ˘ P mq′′ = Γ P m˘q′′−Γ P mq˘′′ . (4.96) Die intermedia¨ren Gro¨ßen ermo¨glichen eine u¨bersichtlichere Formulierung der 2- Index- und 3-Index-Dichten,welchemit denAbleitungender Integrale kontrahiert werden. Ableitungder 2-Index-Integrale ZusammenfassendkanndieGesamtheit der Beitra¨ge der abgeleiteten 2-Index-Inte- gralegeschriebenwerdenals E [x] ∆F12←∑ PQ (P|f12|Q) [x] · fγPQ , (4.97) wobei f erneut jeden Integraltyp repra¨sentiert. In Anlehnung an die etablierte Li- teraturwerden die neuenDichten zurKontraktionmit γ bezeichnet [133]. Fu¨r die Integrale,dienachdemrobustenDensity-Fittingberechnetwerden,ergebensich im 51