Der Große Fermatsche Satz wurde im 17. Jahrhundert von Pierre de Fermat formuliert, aber erst 1994 von Andrew Wiles bewiesen. Als schlüssiger Höhepunkt für den Beweis gilt die Zusammenarbeit von Wiles mit Richard Taylor, die sich neben dem endgültigen Beweis durch Wiles in einer gleichzeitigen Veröffentlichung eines Teilbeweises von beiden, Wiles und Taylor, als gemeinsamen Autoren niederschlug.

Der Satz besagt: Ist ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl größer als 2, so kann die ${\displaystyle n}$-te Potenz keiner positiven ganzen Zahl in die Summe zweier ebensolcher Potenzen zerlegt werden:

${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$

mit positiven ganzen Zahlen ${\displaystyle a,\ b,\ c,\ n}$ ist nur für ${\displaystyle n=1}$ und ${\displaystyle n=2}$ möglich.

Der Große Fermatsche Satz gilt in vielerlei Hinsicht als ungewöhnlich. Seine Aussage ist, trotz der Schwierigkeiten, die sich bei seinem Beweis ergaben, auch für Laien leicht verständlich. Es dauerte mehr als 350 Jahre und war eine Geschichte der gescheiterten Versuche, an denen sich seit Leonhard Euler zahlreiche führende Mathematiker wie etwa Ernst Eduard Kummer beteiligt haben. Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische Episoden dieser Geschichte haben ihn weit über den Kreis der Mathematiker hinaus populär gemacht.

Der schließlich erbrachte Beweis, an dessen Vorarbeiten neben Wiles und Taylor auch Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre, Barry Mazur und Ken Ribet beteiligt waren, gilt als Höhepunkt der Mathematik des 20. Jahrhunderts.

Bezeichnungen

Für diesen Satz existieren verschiedene Bezeichnungen. Die im Deutschen häufigste ist Großer Fermatscher Satz und daraus abgeleitet Großer Fermat im Gegensatz zum Kleinen Fermatschen Satz bzw. Kleinen Fermat. Da von Fermat selbst kein Beweis überliefert ist, handelte es sich streng genommen zunächst nur um eine Vermutung. Daher wird auch der Begriff Fermatsche Vermutung verwendet, doch auch schon vor dem Beweis wurde vom Fermatschen Satz gesprochen. Um Wiles, den Finder des Beweises, mit einzubeziehen, ist auch vom Satz von Fermat-Wiles die Rede. Im Englischen wird der Satz als Fermat’s Last Theorem bezeichnet, was im Deutschen manchmal (ungenau) als Fermats letzter Satz bzw. Fermats letztes Theorem übersetzt wird.^[1]

Ursprung

Vermutlich zwischen 1637 und 1643, ein genaues Jahr lässt sich aufgrund nachfolgend erläuterter Gegebenheiten nicht angeben, schrieb Fermat bei der Lektüre der Arithmetika des Diophantos von Alexandria neben die 8. Aufgabe des zweiten (griechischen) „Buches“ folgende Zeilen als Randbemerkung in sein Handexemplar dieses Werkes:

Da Fermats Handexemplar der Arithmetika erst nach seinem Tod von seinem Sohn im Nachlass seines Vaters gefunden wurde und dieser seine Randnotizen nicht datiert hat, lässt sich ein genaues Datum nicht feststellen. Es ist aber plausibel anzunehmen, dass Fermat zumindest den Fall ${\displaystyle n=4}$ und vielleicht auch den Fall ${\displaystyle n=3}$ gelöst hatte, bevor er sich zu seiner ebenso berühmten wie „leichtsinnigen“ Bemerkung verlocken ließ. Daher ist als Entstehungsjahr eher 1641 als 1637 wahrscheinlich.

Dass Fermat einen Beweis für den Spezialfall ${\displaystyle n=4}$ gefunden hatte, von dem er vielleicht glaubte, ihn verallgemeinern zu können, ist offenkundig, denn dieser Spezialfall ist eine leichte Folgerung aus einem von ihm explizit bewiesenen Satz: Area trianguli rectanguli in numeris non potest quadratus. (Der Flächeninhalt eines pythagoräischen Dreiecks kann keine Quadratzahl sein.), den er inklusive Beweis an den Rand neben der 26. Aufgabe des 6. (griechischen) „Buches“ der Arithmetika geschrieben hat.^[3][4] André Weil hat zudem überzeugend nachgewiesen, dass Fermat alle Mittel besaß, auch den Fall ${\displaystyle n=3}$ mit seiner Methode zu beweisen.^[5]

Die im Jahr 1995 im Beweis von Wiles benutzten Theorien waren über 350 Jahre früher noch nicht einmal ansatzweise entwickelt. Das schließt nicht mit Sicherheit aus, dass eines Tages noch ein einfacherer Beweis gefunden wird, der mit elementareren Mitteln auskommt. Aber dass Fermat einen solchen gefunden haben könnte, wird heute von den meisten Zahlentheoretikern bezweifelt. Das sicherste Zeichen, dass Fermat bald merkte, dass er doch keinen Beweis gefunden hatte, ist, dass er gegenüber keinem seiner Korrespondenten den Satz und einen Beweis desselben erwähnt hat. Fermats Randbemerkung war zudem nur für ihn selbst bestimmt. Mit einer Veröffentlichung durch seinen Sohn Samuel konnte er nicht rechnen.

Verbreitung

Nach dem Tode Fermats gerieten seine zahlentheoretischen Entdeckungen lange Zeit in Vergessenheit, da er seine Erkenntnisse nicht hatte drucken lassen und seine Zeitgenossen unter den Mathematikern sich für Zahlentheorie nicht sonderlich interessierten, Bernard Frénicle de Bessy ausgenommen. Fermats ältester Sohn Samuel veröffentlichte fünf Jahre nach dem Tod seines Vaters eine Neuauflage der Arithmetika, in der auch die achtundvierzig Bemerkungen seines Vaters eingefügt waren. Die zweite dieser Randnotizen wurde dann in weiterer Folge als Fermatsche Vermutung bekannt. Die Notizen enthielten zwar eine Reihe fundamentaler mathematischer Sätze, aber Beweise dazu oder auch nur einfache Erklärungen, wie Fermat zu diesen Resultaten gekommen war, fehlten meistens, wenn auch nicht in allen Fällen. So ist eine der wichtigsten Erkenntnisse Fermats, das berühmte Area trianguli rectanguli in numeris non potest esse quadratus, neben der 26. Aufgabe des 6. „Buches“ der Arithmetika mit einem vollständigen Beweis versehen. Hier verwendet Fermat seine Methode des unendlichen Abstiegs. Es war den nachfolgenden Mathematikern überlassen, vor allem und zuerst Leonhard Euler, die fehlenden Beweise nach und nach zu finden.

Unsicherheit

In diesem Kontext entwickelte sich in den folgenden Jahrhunderten speziell der (inzwischen sogenannte) Große Fermatsche Satz zu einer Herausforderung für viele Mathematiker – es gab de facto niemanden, der ihn beweisen oder widerlegen konnte. Weil aber Fermat selbst die Existenz eines „wunderbaren Beweises“ behauptet hatte, versuchten Generationen von Mathematikern, darunter auch die bedeutendsten ihrer Zeit, diesen zu finden. Auch die anderen Bemerkungen Fermats sollten sich als Quelle schwieriger, jahrelanger Arbeit für seine Mathematikerkollegen erweisen. Insgesamt führten diese Bemühungen aber – quasi nebenbei – zu einer Vielzahl bedeutender Entdeckungen.

Ausnahme n = 1, n = 2

Für ${\displaystyle n=1}$ und ${\displaystyle n=2}$ hat ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ unendlich viele Lösungen mit ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {N} }$. Für ${\displaystyle n=1}$ ist die Gleichung einfach ${\displaystyle a+b=c}$ und es lassen sich beliebige ${\displaystyle a,b}$ für Lösungen wählen. Für ${\displaystyle n=2}$ sind die Lösungen die pythagoreischen Zahlentripel.

Beweise für Spezialfälle des Satzes

Es reicht, die Vermutung für Primzahlexponenten und Exponent 4 zu beweisen. Es ist üblich, beim Fermatproblem für einen Primzahlexponenten ${\displaystyle p}$ zwei Fälle zu unterscheiden. Im ersten Fall wird nach Lösungen gesucht, bei denen ${\displaystyle a,b,c}$ nicht durch ${\displaystyle p}$ teilbar sind. Im zweiten Fall teilt ${\displaystyle p}$ das Produkt ${\displaystyle a\cdot b\cdot c}$.

Spezielle Fälle des Großen Fermatschen Satzes konnten schon früh bewiesen werden:

Wolfskehl-Preis

Die Suche nach einem allgemeinen Beweis wurde zu Beginn des 20. Jahrhunderts durch das Testament des Darmstädter Arztes und Mathematikers Paul Friedrich Wolfskehl auch materiell motiviert. Einer Legende zufolge war sein Schicksal auf seltsame Weise mit dem Fermatschen Satz verbunden: Als seine Liebe zu einer Frau von dieser nicht erwidert wurde, fasste er den Entschluss, sich genau um Mitternacht selbst zu töten. Um die Zeit bis dahin zu überbrücken, las er noch einmal eine der einschlägigen Arbeiten Ernst Eduard Kummers zur Fermatschen Vermutung und glaubte, darin einen Fehler gefunden zu haben. Er begann, das genau nachzuprüfen, und vergaß darüber die Zeit. Als Wolfskehl sich endlich davon überzeugt hatte, dass Kummer doch keinen Fehler gemacht hatte, war Mitternacht bereits vorbei, und er beschloss, seine Suizid-Absichten aufzugeben. Aus Dankbarkeit dafür, dass Fermat ihm quasi das Leben gerettet hatte, soll er daraufhin sein Testament geändert haben.^[9]

Nachdem Wolfskehl schließlich 1906 an multipler Sklerose verstorben war, wurde bekannt, dass er in seinem letzten Willen für denjenigen einen Preis von 100.000 Goldmark ausgesetzt hatte, der als Erster einen vollständigen Beweis in einer Fachzeitschrift veröffentlichen würde. Daraufhin wurde 1908 von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen der Wolfskehl-Preis ausgeschrieben. Einsendeschluss sollte der 13. September 2007 sein. 1997 wurde der Preis, der noch 75.000 DM wert war, schließlich an Andrew Wiles ausbezahlt.

Der Beweis

Im Jahr 1993 zeigte Andrew Wiles in Vorträgen am Isaac Newton Institute in Cambridge einen Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung an, wodurch auch der große Fermatsche Satz bewiesen wäre. Sein vorgestellter Beweis war jedoch in einem wesentlichen Punkt lückenhaft, wie sich erst im nachfolgenden Review herausstellte. Zusammen mit seinem Schüler Richard Taylor konnte Wiles die Lücke 1994 schließen und so auch den großen Fermatschen Satz beweisen.^[10]

Der Kern der ohne Anhang und Literaturverzeichnis 98-seitigen Arbeit besteht aus einem zweiteiligen Beweis durch Widerspruch:

• Sind ${\displaystyle a,b,c,n}$ mit ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ ein Gegenbeispiel zum fermatschen Satz, so ist die elliptische Kurve

${\displaystyle y^{2}=x\cdot (x-a^{n})\cdot (x+b^{n})}$

nicht modular. Dies war 1986 von Gerhard Frey vermutet und über einen Beitrag von Jean-Pierre Serre 1990 durch Ken Ribet bewiesen worden.

• Gemäß der Taniyama-Shimura-Vermutung (nach Yutaka Taniyama und Gorō Shimura, manchmal auch nach André Weil benannt) sind jedoch alle elliptischen Kurven modular. Diese Vermutung bewiesen Wiles und Taylor im Jahr 1994 für eine große Klasse von elliptischen Kurven, unter anderem für die Frey-Kurve.

Dies ist ein Widerspruch zum ersten Teil des Beweises, die angenommene Existenz eines Gegenbeispiels zum großen Fermatschen Satz muss falsch sein.

• 
  Gerhard Frey, Boston 1995
• 
  Jean-Pierre Serre, Erlangen 1997
• 
  Barry Mazur, Boston 1995
• 
  Ken Ribet, Boston 1995
• 
  Richard Taylor, Edinburgh 1996
• 
  Andrew Wiles, Boston 1995

Vermutungen, die die Fermatvermutung umfassen

Es gibt einige offene Vermutungen, die die Fermatvermutung als Spezialfall umfassen, am wichtigsten ist die abc-Vermutung. Weitere sind die Fermat-Catalan-Vermutung und die Vermutung von Andrew Beal. Eine Verallgemeinerung ist auch die eulersche Vermutung, die mittlerweile widerlegt ist.

Trivia

• In der Folge Hotel Royal der Fernsehserie Raumschiff Enterprise: Das nächste Jahrhundert von 1989 wird behauptet, der fermatsche Satz sei auch mit Computerhilfe bis ins 24. Jahrhundert nicht bewiesen worden. Kurze Zeit nach Einstellung der Serie im Jahr 1994 wurde dann der Beweis erbracht. Allerdings spielt Star Trek generell in einer anderen Zeitlinie. Im Jahr 1995 erfolgte eine „Korrektur“ durch die Star Trek-Autoren: In der Folge Facetten (Staffel 3, Folge 25) der Fernsehserie Star Trek: Deep Space Nine wird vom Symbionten Dax ein alternativer („originellerer“) Beweis des fermatschen Satzes gesucht und an dieser Stelle explizit auf den Lösungsweg von Andrew Wiles verwiesen.
• In der Folge Im Schatten des Genies der Simpsons schreibt Homer Simpson ein vermeintliches Gegenbeispiel für den großen fermatschen Satz an eine Tafel: den Ausdruck ${\displaystyle 3987^{12}+4365^{12}=4472^{12}}$, bei dem die Differenz zwischen beiden Seiten in einfachen Taschenrechnern als Null erscheint. Es handelt sich jedoch natürlich nicht um eine tatsächliche Lösung, sondern nur um eine Folge der Beschränktheit eines solchen Taschenrechners: Da alle drei Zahlen die Größenordnung ${\displaystyle 10^{43}}$ haben, die Differenz zwischen beiden Seiten aber nur die vergleichsweise kleine Größenordnung ${\displaystyle 10^{33}}$, kann der Taschenrechner dies nicht mehr auflösen.^[11] Die Episode Die Panik-Amok-Horror-Show enthält mit der Gleichung ${\displaystyle 1782^{12}+1841^{12}=1922^{12}}$ ebenso eine vermeintliche Lösung, bei der die Differenz zwischen den beiden Seiten zehn Größenordnungen kleiner ist als die Zahlen.^[12] Hinter diesen mathematischen Einlagen in der Serie steht der Autor David X. Cohen, eines von mehreren Mitgliedern des Autorenstabs mit mathematisch-naturwissenschaftlichem Hintergrund.
• Der Autor Stieg Larsson lässt seine Protagonistin Lisbeth Salander im zweiten Band der Millennium-Trilogie die Lösung von Fermats Theorem erkennen, sie kann sich aber nach einer Kopfverletzung später nicht mehr genau erinnern.
• Im Film Teuflisch steht als Mathematikhausaufgabe an der Tafel, den Großen Fermatschen Satz zu beweisen.
• In Arno Schmidts Kurzroman Schwarze Spiegel^[13] löst der Ich-Erzähler – lange vor Andrew Wiles – das Fermat-Problem: „Die schwarze Kuppel der Nacht: aus dem kreisrunden Oberlicht im Zenit kam es giftigklar und so hohnhell, dass der Schnee Augen und Sohlen brannte. Ich setzte mich auf die oberste meiner beiden Holzstufen, und schrieb auf einen großen Bogen: Das Problem des Fermat: In ${\displaystyle A^{N}+B^{N}=C^{N}}$ soll, die Ganzzahligkeit aller Größen vorausgesetzt, ${\displaystyle N}$ nie größer als 2 sein können. Ich bewies es mir rasch so: (1)  ${\displaystyle A^{N}=C^{N}-B^{N}}$ […] Flink zogen sich die Symbole aus dem Bleistift, und ich murkste munter so weiter: das muss man sich mal vorstellen: ich löse das Problem des Fermat! (Aber die Zeit verging vorbildlich dabei).“ Leider ist der Beweis fehlerhaft.

Siehe auch

• Beal-Vermutung (eine unbewiesene Verallgemeinerung des großen fermatschen Satzes)
• Kleiner fermatscher Satz
• Reguläre Primzahl (dort liegt eine Beweisskizze für diesen Spezialfall vor)
• Wall-Sun-Sun-Primzahl
• Wieferich-Primzahl
• Wolstenholme-Primzahl

Literatur

Weblinks

Commons: Großer Fermatscher Satz  – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Video: Der große Satz von Fermat Teil 1. Pädagogische Hochschule Heidelberg (PHHD) 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/19891.
• Video: Der große Satz von Fermat Teil 2. Pädagogische Hochschule Heidelberg (PHHD) 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/19890.

Einzelnachweise

1. ↑ „Last“ bezieht sich hierbei darauf, dass es unter den von Fermat formulierten Sätzen der letzte unbewiesene war.
2. ↑ Das Original ist verloren, die Bemerkung findet sich aber in einer Ausgabe der Arithmetica von Diophant mit Übersetzung und Kommentaren von Bachet und Notizen von Fermat, die dessen Sohn herausgab, siehe Paul Tannery, Charles Henry (Hrsg.): Œuvres de Fermat. Tome premier. Gauthier-Villars, Paris 1891, S. 291, Hinweise S. 434; nach Samuel de Fermat (Hrsg.): Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex. Bernard Bosc, Toulouse 1670, S. 61; Übersetzung siehe Max Miller: Bemerkungen zu Diophant. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1932, S. 3.
3. ↑ Pierre de Fermat: Bemerkungen zu Diophant. Aus dem Lateinischen übersetzt und mit Anmerkungen herausgegeben von Max Miller. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1932, S. 34–36.
4. ↑ Catherine Goldstein: Un théorème de Fermat et ses lecteures. Presses Universitaires de Vincennes, Saint-Denis 1995 (französisch).
5. ↑ André Weil: Zahlentheorie. Ein Gang durch die Geschichte von Hammurapi bis Legendre. Birkhäuser, Basel 1992, S. 120–124.
6. 1 2 3 4 5 6 Paulo Ribenboim: Fermat’s last theorem for amateurs. Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-0-387-98508-4.
7. ↑ André Weil: Number Theory. An approach through history from Hammurapi to Legendre. Birkhäuser, 1984, S. 76.
8. ↑ Spektrum der Wissenschaft, Dossier 6/2009: Die größten Rätsel der Mathematik. ISBN 978-3-941205-34-5, S. 8 (Interview mit Gerd Faltings).
9. ↑ Klaus Barner: Paul Wolfskehl and the Wolfskehl Prize. (PDF; 278 kB). In: Notices AMS. Band 44. Nummer 10, November 1997 (englisch).
10. ↑ Peter Roquette: Zum Fermat-Problem. (PDF; 207 kB). Vortrag am Mathematischen Institut der Universität Heidelberg, 24. Januar 1998. Historische Entwicklung bis zur Lösung. S. 15. Abgerufen am 25. August 2016.
11. ↑ Simon Singh: Homers letzter Satz. Die Simpsons und die Mathematik. Hanser, München 2013. S. 47–54.
12. ↑ Dass die erste Summe nicht stimmt, ergibt sich unmittelbar aus den Quersummen: Die Basen beider Summanden 3987 und 4365 sind (wie ihre Quersummen) durch 3 teilbar. Damit sind auch alle ihre Potenzen und deren Summe durch 3 teilbar – in Widerspruch dazu, dass die Basis 4472 dieser Summe mit 17 eine nicht durch 3 teilbare Quersumme hat. Auch die Falschheit der zweiten Summe erkennt man fast ohne Rechnung, indem man aus der Gleichheit der Einerziffern 2 der Basen 1782 und 1922 folgert, dass die Differenz ihrer Potenzen durch 10 teilbar ist, obwohl deren Basis gleich 1841 ist.
13. ↑ Arno Schmidt: Schwarze Spiegel. In: Arno Schmidt: Brand’s Haide. Zwei Erzählungen. Rowohlt, Hamburg 1951, S. 153–259 (Erstausgabe).