Momentanzins

Der Momentanzins (englisch short rate) ist der für einen infinitesimal (unendlich) kleinen Zeitraum aktuell gültige Zinssatz im Kontext stetiger Zinsmodelle. In der Realität und bei der diskreten Zinsmodellierung ist dagegen der aktuelle Zinssatz nur für konkrete Laufzeiten als Kassazins bestimmt.

Momentanzinsmodelle (englisch short-rate models) arbeiten mit dem Momentanzins als theoretischem Konstrukt, das so am Kapitalmarkt nicht beobachtet werden kann. Bei den Momentanzinsmodellen bildet der Momentanzins das Fundament zur Modellierung der zukünftigen Entwicklung der Zinsstruktur. Der Momentanzins modelliert den Zinssatz einer „sicheren“ Anlage, einem risikolosen Geldmarktkonto mit kontinuierlich veränderbarer Verzinsung.

Modellierung

Das Geldmarkt- oder auch Bankkonto mit stetiger Verzinsung ist als rollierende Anlage definiert: Zum Startzeitpunkt ${\displaystyle t=0}$ wird eine Geldeinheit investiert, die zu jedem Zeitpunkt ${\displaystyle t\geq 0}$ mit dem jeweiligen Momentanzins ${\displaystyle r_{t}}$ verzinst wird. Bezeichnet ${\displaystyle B_{t}}$ den Guthabenstand des Geldmarktkontos, so folgt dieser – Stetigkeit des Momentanzinses vorausgesetzt – der Gleichung

${\displaystyle B_{t}=\exp \left(\int \limits _{0}^{t}r_{u}\mathrm {d} u\right)}$.

Durch Ableitung erhält man die äquivalente Form als Differentialgleichung mit Startbedingung:

${\displaystyle B_{0}=1}$

und

${\displaystyle {\frac {dB_{t}}{dt}}=r_{t}\cdot B_{t}}$.

Der Guthabenstand ${\displaystyle B_{t}}$ zum Zeitpunkt t stellt (aufgrund der Normierung ${\displaystyle B_{0}=1}$) auch den Akkumulations- oder Aufzinsungsfaktor für eine Zahlung im Zeitpunkt 0 dar.

Anwendung

Von besonderer Bedeutung ist das Geldmarktkonto im Rahmen der risikoneutralen Bewertung, bei der das Geldmarktkonto als Numéraire verwendet wird.

Literatur

• Nicole Branger, Christian Schlag: Zinsderivate. Modelle und Bewertung. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-21228-0.