Page - 24 - in Chromatisch konfokale Triangulation - Hochgeschwindigkeits 3D-Sensorik auf Basis der Wellenlängenschätzung mit optimierten Filtern

3 StandderForschung DabeibestehteineVerwechslungsgefahrmitdergleichnamigenBhattacha- ryya-Ungleichung aus der Parameterschätztheorie, welche analog zur Cramér-Rao-UngleichungeineuntereSchrankederSchätzvarianzbeschreibt [Tre07].Umeiner späterenVerwechslungvorzubeugen,werdenandieser StelledieBhattacharyya-UngleichungundweitereuntereSchrankenfürdie Schätzvarianzvorgestellt.WirdindenfolgendenKapitelnvonderBhattach- aryya-Ungleichung gesprochen, ist jedoch immer die Bhattacharyya- UngleichungalsSpezialfallderChernoff-Ungleichunggemeint.Diesewirdin Abschnitt6.3.3behandeltundstelltkeineuntereSchrankefürdieSchätzvari- anz dar. DieCramér-Rao-UngleichungkannalsSpezialfallderBhattacharyya-Unglei- chungdargestelltwerden[Fen59].DieBhattacharyya-Ungleichungstelltei- neschärfereuntereGrenze fürdieSchätzvarianzdar,wofür imGegensatz zurCramér-Rao-UngleichungzusätzlicheAbleitungenbezüglichderSchätz- größe berücksichtigt werden [Bha46]. InderLiteraturexistierenweitereuntereSchrankenwiez.B.dieBobrovsky- Zakai-SchrankeoderdieWeiss-Weinstein-Schranke[Tre07].Dieseunteren SchrankenbildendasPhänomeneinersprungartigenZunahmederSchätz- varianzab.Dieseskannbeobachtetwerden,wenndasmodellierteSignal- Rausch-VerhältniseinDezibelunterschreitet. InAbbildung3.1 istdazu in doppelt logarithmischer Weise der Root Mean Square Error (RMSE)des Schätzfehlers überdemSignal-Rausch-Verhältnis aufgetragen.Die grüne Linie(CR)zeigtdieuntereSchrankederCramér-Rao-Ungleichungunddie roteLinievisualisiertdieuntereSchrankederBhattacharyya-Ungleichung. BeideuntereSchrankenbezeichneneineminimaleVarianz.Damitdiesemit einemRMSEverglichenwerdenkönnen,sinddieStandardabweichungender unterenSchrankeninAbbildung3.1aufgetragen.DesWeiterensoll fürdie- seBetrachtungdieErwartungstreuederSchätzfunktionengelten.Dadurch beinhaltetderMeanSquareErrorkeinenzusätzlichensystematischenOffset zumSchätzwert (Bias) undkannmit der Varianzder unteren Schranken verglichenwerden [Bey99, S.112]. DieunterenSchrankenkönnendasVerhaltendersprungartigenZunahme derSchätzvarianznichtvorhersagen.FürdieseArbeit istdiesesProblemaller- dingsnichtrelevant,daderCCT-SensorbeieinemdeutlichhöherenSignal- Rausch-Verhältnisbetriebenwird.DieProblematik ist in[Tre07]umfassend aufgearbeitet. 24