Page - 76 - in Chromatisch konfokale Triangulation - Hochgeschwindigkeits 3D-Sensorik auf Basis der Wellenlängenschätzung mit optimierten Filtern

6 OptimierungvonFiltersätzen dieFisher-InformationbezüglichderMessgrößehamArbeitspunkth◦angibt [vdB07,S.60].DieDarstellungalsErwartungswert istnützlich,wobei sh◦ als Fisher score bezeichnetwird [vdB07, S.23]. FürdasentwickelteSensormodellkanndieFisher-Informationalsanalyti- scherAusdruckausgewertetwerden.DazuwirdimerstenSchrittdie logarith- mierteWahrscheinlichkeitsdichtefunktion(4.26)desRauschmodells ln ( p(g|h)) =−n 2 ln(2π)−1 2 ln (|Σ|)−1 2 ( g−gμ(h) ) Σ−1 ( g−gμ(h) ) =−n 2 ln(2π)−1 2 ln (|Σ|)−1 2 ∑ i ∑ j di(h)ε − i jdj(h) (6.11) betrachtet,wobeidieSchreibweiseε−i j das(i,j)-teElementderKovarianzma- trixΣ−1, |Σ|dieDeterminanteundd(h)=g−gμ(h),bzw.di(h)=gi−gμ,i(h) bezeichnet. ImnächstenSchrittwirddieAbleitung∂ln(p(g|h))/∂h,bzw.der Fisherscoregebildet.ZurHerleitungeinergeschlossenenLösungistdieAn- nahmenotwendig,dassΣkeineAbhängigkeitenbezüglichhaufweist.Die- se Forderung ist dannerfüllt,wenndas stark vereinfachteRauschmodell (4.31),mit einerKovarianzmatrixσ2Ibetrachtetwird.Diesesvereinfachte RauschmodellwirdindieserArbeitnurandieserStelleverwendet.Danur 76 der letzteTermin (6.11)eineAbhängigkeit vonh aufweist, ergibt sichder Fisher score fürnormalverteilteBeobachtungen[vdB07,S.25] sh◦= ∂ln ( p(g|h)) ∂h ∣∣∣∣ h◦ =1 2 ∑ i ∑ j ( ∂gμ,i(h) ∂h ε−i jdj(h)+di(h)ε−i j ∂gμ,j(h) ∂h ) =∑ i ∑ j ( ∂gμ,i(h) ∂h ε−i jdj(h) ) = ( ∂gμ(h) ∂h ) Σ−1d(h).