Beispiele zur Berechnung über die Geschwindigkeit

Ein Auto bewegt sich zum Zeitpunkt ${\displaystyle t_{1}=0\,\mathrm {s} }$ mit einer Geschwindigkeit von ${\displaystyle v_{1}=10\,\mathrm {\tfrac {m}{s}} }$ über die Straße (das sind 36 km/h). Zehn Sekunden später, zum Zeitpunkt ${\displaystyle t_{2}=10\,\mathrm {s} }$, beträgt die Geschwindigkeit ${\displaystyle v_{2}=30\,\mathrm {\tfrac {m}{s}} }$ (das sind 108 km/h). Die durchschnittliche Beschleunigung des Autos in diesem Zeitintervall war dann

${\displaystyle a={\frac {v_{2}-v_{1}}{t_{2}-t_{1}}}=2\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} }$.

Die Geschwindigkeit hat also pro Sekunde durchschnittlich um 2 m/s (also um 7,2 km/h) zugenommen.

Ein PKW, der vor der roten Ampel innerhalb von ${\displaystyle \Delta t=3\,\mathrm {s} }$ von „Tempo 50“ ( ${\displaystyle v_{1}=50\,\mathrm {\tfrac {km}{h}} \approx 14\,\mathrm {\tfrac {m}{s}} }$) auf Null abgebremst wird, erfährt die Beschleunigung

${\displaystyle a={\frac {0-v_{1}}{\Delta t}}\approx -5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} }$.

Einheit der Beschleunigung

Die Maßeinheit für die Angabe einer Beschleunigung ist standardmäßig die Einheit Meter pro Quadratsekunde (m/s²), also (m/s)/s. Allgemein können Belastungen technischer Geräte oder die Angabe von Belastungsgrenzen als g-Kraft, also als „Kraft pro Masse“, erfolgen. Diese wird als Vielfaches der normalen Erdbeschleunigung (Normfallbeschleunigung) g = 9,80665 m/s² angegeben. In den Geowissenschaften ist daneben auch die Einheit Gal = 0,01 m/s² gebräuchlich.

Beschleunigung von Kraftfahrzeugen

Bei Kraftfahrzeugen wird die erreichbare positive Beschleunigung als ein wesentlicher Parameter zur Klassifizierung der Leistung verwendet. Angegeben wird meist ein Mittelwert in der Form „In … Sekunden von 0 auf 100 km/h“ (auch 60, 160 oder 200 km/h).

Zahlenbeispiel:

Für das Modell Tesla Model S (Typ: Performance) wird angegeben, dass eine Beschleunigung von 0 auf 100 km/h in 2,5 Sekunden erreicht werden kann. Das entspricht einem mittleren Beschleunigungswert von

${\displaystyle a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {27,8\,ms^{-1}} }{\mathrm {2,5\,s} }}=\mathrm {11,2\,ms^{-2}} }$ }.

Rechenbeispiel zur Messung über die Trägheit

In einem Aufzug befindet sich eine Federwaage, an der eine Masse von einem Kilogramm hängt ( ${\displaystyle m=1\,\mathrm {kg} }$). Wenn der Aufzug im Vergleich zur Erde ruht, so zeigt die Waage eine Gewichtskraft von 9,8 Newton an. Der Betrag der Schwerebeschleunigung beträgt demnach

${\displaystyle a={\frac {F}{m}}=9{,}8\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} .}$

Zeigt die Federwaage einen Moment später zum Beispiel eine Kraft von 14,7 Newton an, so ist die Beschleunigung des Aufzugs 4,9 m/s² im Vergleich zur Erde nach oben.

Allgemeine Beschreibung

Die Beschleunigung eines Körpers, der sich entlang eines Weges (einer Raumkurve) bewegt, lässt sich mit den Frenetschen Formeln berechnen. Dies ermöglicht eine additive Zerlegung der Beschleunigung in eine Beschleunigung in Bewegungsrichtung (Tangentialbeschleunigung) und eine Beschleunigung senkrecht zur Bewegungsrichtung (Normalbeschleunigung oder Radialbeschleunigung).

Der Vektor der Geschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ kann als Produkt aus seinem Betrag ${\displaystyle v}$ und dem Tangenteneinheitsvektor ${\displaystyle {\hat {t}}}$ dargestellt werden:

${\displaystyle {\vec {v}}=v\,{\hat {t}}}$

Der Tangenteneinheitsvektor ist ein Vektor der Länge ${\displaystyle 1}$, der an jedem Punkt des Weges die Richtung der Bewegung anzeigt. Die Ableitung dieses Ausdrucks nach der Zeit ist die Beschleunigung:

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right){\hat {t}}+v\left({\frac {\mathrm {d} {\hat {t}}}{\mathrm {d} t}}\right)}$

Die zeitliche Ableitung des Tangenteneinheitsvektors kann über die Bogenlänge ${\displaystyle s}$ berechnet werden:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {t}}}{\mathrm {d} t}}=\underbrace {\frac {\mathrm {d} {\hat {t}}}{\mathrm {d} s}} _{{\hat {n}}/\rho }\underbrace {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}} _{v}={\frac {v}{\rho }}{\hat {n}}}$

Dabei führt man den Krümmungsradius ${\displaystyle \rho }$ und den Normaleneinheitsvektor ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ein. Der Krümmungsradius ist ein Maß für die Stärke der Krümmung und der Normaleneinheitsvektor zeigt senkrecht zur Bahnkurve in Richtung des Krümmungsmittelpunkts. Man definiert die Tangentialbeschleunigung ${\displaystyle a_{t}}$ und Radialbeschleunigung ${\displaystyle a_{n}}$ so:

${\displaystyle a_{t}={\dot {v}}}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{\rho }}}$

Die Beschleunigung lässt sich damit in zwei Komponenten zerlegen:

${\displaystyle {\vec {a}}=a_{t}{\hat {t}}+a_{n}{\hat {n}}}$

Ist die Tangentialbeschleunigung Null, so ändert der Körper nur seine Bewegungsrichtung. Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt dabei erhalten. Um den Betrag der Geschwindigkeit zu ändern, muss also eine Kraft wirken, die eine Komponente in Richtung des Tangentialvektors besitzt.

Zentrifugalbeschleunigung

Ein Sonderfall obenstehender Überlegung ist eine Kreisbewegung mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag. In diesem Fall ist die Beschleunigung nach innen auf den Kreismittelpunkt hin gerichtet, also immer senkrecht zur momentanen Bewegungsrichtung auf der Kreisbahn. Dieser Sonderfall einer reinen „Radialbeschleunigung“ heißt Zentripetalbeschleunigung. Durch sie wird nicht der Betrag der Geschwindigkeit verändert, sondern nur deren Richtung, was eben gerade eine Kreisbahn ergibt. Bezüglich eines mitrotierenden (und daher beschleunigten) Bezugssystems wird ein Objekt vom Mittelpunkt weg nach außen beschleunigt, dann wird die Bezeichnung Zentrifugalbeschleunigung verwendet.

Eine Zentrifuge nutzt diesen Effekt, um Dinge einer konstanten Beschleunigung auszusetzen. Der Krümmungsradius entspricht dabei, da es sich um eine Kreisbewegung handelt, dem Abstand ${\displaystyle r}$ des Zentrifugiergutes zur Drehachse. Die Beschleunigung, der das Zentrifugiergut der Bahngeschwindigkeit ${\displaystyle v}$ ausgesetzt ist, lässt sich dann auch durch die Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \omega }$ ausdrücken:

${\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{r}}=r\,\omega ^{2}}$

Negative und positive Beschleunigung

Bei einem Körper, der sich entlang einer Linie bewegt, wird der Tangenteneinheitsvektor üblicherweise in Bewegungsrichtung gewählt. Ist die Tangentialbeschleunigung negativ, so verringert sich die Geschwindigkeit des Körpers. Bei Fahrzeugen spricht man von einer Verzögerung oder Bremsung des Fahrzeugs. Wird in diesem Zusammenhang der Begriff Beschleunigung gebraucht, so ist meist eine positive Tangentialbeschleunigung gemeint, die die Geschwindigkeit des Fahrzeugs erhöht.

Beschleunigungsfeld und Potential

Ist eine Kraft auf ein Teilchen proportional zu seiner Masse, dies ist zum Beispiel bei der Gravitation der Fall, so lässt sie sich auch durch ein Beschleunigungsfeld beschreiben. Dieses Vektorfeld ordnet jedem Ort ${\displaystyle {\vec {r}}}$ im Raum eine Beschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}({\vec {r}})}$ zu. Es lässt sich häufig als Gradient eines Potentials ${\displaystyle \Phi ({\vec {r}})}$ schreiben. Anschaulich lässt sich das Potential als Schüssel wie im Bild rechts auffassen. Der negative Gradient liefert einen Vektor, der in Richtung des steilsten Abfalls (maximale negative Steigung) zeigt. Seine Richtung gibt also an, wohin eine Kugel rollen würde, die in die Schüssel gelegt wird. Mit einem Potential oder Beschleunigungsfeld lässt sich dann für jede Anfangsbedingung, also Anfangsgeschwindigkeit und -position, die Bewegung eines Teilchens (Trajektorie) berechnen.

Auch wenn die Kraft auf ein Teilchen nicht proportional zu seiner Masse ist, lässt sich häufig ein Kraftfeld und ein Potential aufstellen, beispielsweise ein Coulombpotential für ein elektrisch geladenes Teilchen. In diesem Fall ist die Beschleunigung jedoch von der Masse ${\displaystyle m}$ und von der Ladung ${\displaystyle q}$ des Teilchens abhängig:

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\,{\vec {r}}=-{\frac {q}{m}}\nabla \Phi ({\vec {r}})}$

Konstante Beschleunigung

Bei einer gleichmäßigen Beschleunigung ist das Beschleunigungsfeld zeitlich konstant und homogen, also die Beschleunigung in allen Punkten des Raums in Betrag und Richtung identisch, beispielsweise gleich dem Vektor ${\displaystyle {\vec {g}}}$:

${\displaystyle {\vec {a}}({\vec {r}})={\vec {g}}}$ für alle ${\displaystyle {\vec {r}}}$

Mit einem solchen Ansatz lässt sich lokal (nicht global) das Gravitationsfeld der Erde beschreiben. Ein Teilchen in einem solchen Gravitationspotential bewegt sich auf einer parabelförmigen Bahn, bei einem Gravitationsfeld auch Wurfparabel genannt. Auch bei einem freien Fall (ohne Luftwiderstand) werden alle Körper gleich beschleunigt. Auf der Erde beträgt die Beschleunigung in Richtung Erdmittelpunkt ungefähr 9,81 Meter pro Quadratsekunde. Das Gravitationspotential der Erde ist jedoch nicht ganz kugelsymmetrisch, da die Erdgestalt von einer Kugel abweicht (Erdabplattung) und der innere Aufbau der Erde nicht völlig homogen ist (Schwereanomalie). Die Erdbeschleunigung kann daher regional leicht unterschiedlich sein. Unabhängig vom Potential muss bei Messungen gegebenenfalls auch die Beschleunigung durch die Erdrotation berücksichtigt werden. Ein Beschleunigungsmesser zur Bestimmung der Schwerebeschleunigung wird Gravimeter genannt.