Einheitsmatrix

Elemente

Die Elemente einer Einheitsmatrix lassen sich mit dem Kronecker-Delta

${\displaystyle \delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1\quad {\text{falls}}\quad i=j\\0\quad {\text{falls}}\quad i\neq j\end{matrix}}\right.}$

angeben. Die Einheitsmatrix der Größe ${\displaystyle n\times n}$ kann so einfach durch

${\displaystyle I_{n}=(\delta _{ij})_{i,j\in \{1,\ldots ,n\}}}$

notiert werden. Die Zeilen und Spalten der Einheitsmatrix sind die kanonischen Einheitsvektoren ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ , und man schreibt entsprechend

${\displaystyle I_{n}=(e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ,

wenn die Einheitsvektoren Spaltenvektoren sind.

Neutralität

Für jede Matrix ${\displaystyle A\in R^{m\times n}}$ gilt

${\displaystyle I_{m}\cdot A=A\cdot I_{n}=A}$ .

Demnach ergibt das Produkt aus einer beliebigen Matrix mit der Einheitsmatrix wieder die gleiche Matrix. Die Menge der quadratischen Matrizen bildet zusammen mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation einen (nichtkommutativen) Ring ${\displaystyle (R^{n\times n},+,\cdot )}$ . Die Einheitsmatrix ist dann das Einselement in diesem Matrizenring, also das neutrale Element bezüglich der Matrizenmultiplikation.

Symmetrien

Die Einheitsmatrix ist symmetrisch, das heißt für ihre Transponierte gilt

${\displaystyle (I_{n})^{T}=I_{n}}$ ,

und selbstinvers, das heißt für ihre Inverse gilt ebenfalls

${\displaystyle (I_{n})^{-1}=I_{n}}$ .

Kenngrößen

Für die Determinante der Einheitsmatrix gilt

${\displaystyle \operatorname {det} (I_{n})=1}$ ,

was eine der drei definierenden Eigenschaften einer Determinante ist. Für die Spur der Einheitsmatrix gilt

${\displaystyle \operatorname {spur} (I_{n})=\sum _{i=1}^{n}1}$ .

Handelt es sich bei dem Ring um ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ , ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , erhält man demnach ${\displaystyle \operatorname {spur} (I_{n})=n}$ . Das charakteristische Polynom der Einheitsmatrix ergibt sich als

${\displaystyle \chi _{I_{n}}(\lambda )=(\lambda -1)^{n}}$ .

Der einzige Eigenwert ist demnach ${\displaystyle \lambda =1}$ mit Vielfachheit ${\displaystyle n}$ . In der Tat gilt ${\displaystyle I_{n}\cdot x=1\cdot x}$ für alle ${\displaystyle x}$ des Moduls ${\displaystyle R^{n}}$ . Ist ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring, so ist der Rang der Einheitsmatrix durch

${\displaystyle \operatorname {rang} (I_{n})=n}$

gegeben.

Potenzen

Die Einheitsmatrix ist idempotent, das heißt

${\displaystyle I_{n}\cdot I_{n}=I_{n}}$ ,

und sie ist die einzige Matrix mit vollem Rang mit dieser Eigenschaft. Für das Matrixexponential einer reellen oder komplexen Einheitsmatrix gilt damit

${\displaystyle \exp(I_{n})=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(I_{n})^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\cdot I_{n}=e\cdot I_{n}}$ ,

wobei ${\displaystyle e}$ die eulersche Zahl ist.

Lineare Algebra

Die Menge der regulären Matrizen der Größe ${\displaystyle n\times n}$ bildet mit der Matrizenmultiplikation die allgemeine lineare Gruppe. Für alle Matrizen ${\displaystyle A}$ dieser Gruppe und ihre Inversen ${\displaystyle A^{-1}}$ gilt dann

${\displaystyle A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=I_{n}}$ .

Das Zentrum dieser Gruppe sind gerade die Vielfachen (ungleich null) der Einheitsmatrix. Für eine orthogonale Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ gilt nach Definition

${\displaystyle A\cdot A^{T}=A^{T}\cdot A=I_{n}}$

und entsprechend dazu für eine unitäre Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$

${\displaystyle A\cdot A^{H}=A^{H}\cdot A=I_{n}}$ .

Diese Matrizen bilden jeweils Untergruppen der entsprechenden allgemeinen linearen Gruppe. Die nullte Potenz einer quadratischen Matrix ${\displaystyle A\in R^{n\times n}}$ wird als

${\displaystyle A^{0}=I_{n}}$

festgelegt. Weiter wird die Einheitsmatrix bei der Definition des charakteristischen Polynoms

${\displaystyle \chi _{A}(\lambda )=\det(A-\lambda I_{n}).}$

einer quadratischen Matrix verwendet. Die Einheitsmatrix ist die Darstellungsmatrix der Identitätsabbildung ${\displaystyle \operatorname {id} \colon V\to V}$ eines endlichdimensionalen Vektorraums ${\displaystyle V}$ .

Geometrie

In der analytischen Geometrie werden Einheitsmatrizen unter anderem bei der Definition folgender Abbildungsmatrizen ${\displaystyle T}$ verwendet:

• Punktspiegelung am Koordinatenursprung:
  ${\displaystyle T=-I}$
• Zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor ${\displaystyle m>0}$ und dem Ursprung als Zentrum:
  ${\displaystyle T=m\cdot I}$
• Spiegelung an einer Ursprungsgerade mit Einheits-Richtungsvektor ${\displaystyle v}$ :
  ${\displaystyle T=2vv^{T}-I}$
• Spiegelung an einer Ursprungsgerade (2D) oder Ursprungsebene (3D) mit Einheits-Normalenvektor  ${\displaystyle n}$ :
  ${\displaystyle T=I-2nn^{T}}$
• Projektion auf den Komplementärraum, wenn ${\displaystyle P}$ eine Projektionsmatrix auf eine Ursprungsebene oder -gerade ist:
  ${\displaystyle T=I-P}$