Pascalsches Gesetz

Der hydrostatische Druck für ein Fluid mit konstanter Dichte im homogenen Schwerefeld berechnet sich nach dem Pascalschen Gesetz (benannt nach Blaise Pascal):

${\displaystyle p(h)=\rho gh+p_{0}}$

Formelzeichen:

${\displaystyle \rho }$ = Dichte [für Wasser: ${\displaystyle \rho }$ ≈ 1.000  kg/m³]

${\displaystyle g}$ = Schwerebeschleunigung [für Deutschland: ${\displaystyle g}$ ≈ 9,81  m/s²]

${\displaystyle h}$ = Höhe des Flüssigkeitsspiegels über dem betrachteten Punkt

${\displaystyle p_{0}}$ = Druck an der Flüssigkeitsoberfläche (z.  B. Luftdruck)

${\displaystyle p(h)}$ = hydrostatischer Druck in Abhängigkeit von der Höhe des Flüssigkeitsspiegels. ^[4]

Bei der Ermittlung des Drucks auf die Behälterwand spielt der Umgebungsdruck (auch Betriebsdruck genannt^[2]) keine Rolle, da er als additive Konstante im Druck überall gleich wirkt, und da der Luftdruck ${\displaystyle p_{0}}$ gleichermaßen von oben (über die Wasseroberfläche) und von unten einwirkt kann er vernachlässigt werden. Der durch das Fluid ausgeübte Druck auf den Boden eines wassergefüllten Gefäßes ist durch den Druck ${\displaystyle \rho gh}$ der Wassersäule gegeben. Solange Kapillarität gering ist, hängt der Bodendruck nicht von der Form oder Größe des Gefäßes ab, sondern nur von der Füllhöhe ${\displaystyle h}$, während die auf den Boden wirkende Kraft proportional zur Bodenfläche zunimmt. Dies ist das Prinzip der Kraftverstärkung in der hydraulischen Presse, das erstmals Blaise Pascal 1653 formulierte.^[5]

Druckverteilung in einer Flüssigkeit ohne Schwerkraft

Jede Flüssigkeit ist schwer, aber in vielen Fällen, insbesondere unter hohen Umgebungsdrücken, kann der Einfluss der Schwerkraft vernachlässigt werden; einen solchen Fall zeigt die Abbildung rechts. Der hervorgehobene Zylinder ist im umgebenden Druckfeld in Ruhe.

• Die Druckkräfte auf der Mantelfläche des Zylinders wirken senkrecht zur Mantelfläche und damit auch senkrecht zur Zylinderachse. Die Kräfte tragen deshalb nicht zu den Kraftkomponenten parallel zur Zylinderachse bei, und das unabhängig davon, wie der Druck auf der Mantelfläche verteilt ist.
• Der Druck auf den Stirnflächen kann bei kleinen Inhalten dA als gleichverteilt angenommen werden. Dann ist die Druckkraft am einen Ende p₁ dA und am anderen Ende p₂ dA und ersterer entgegengesetzt. Der Zylinder bleibt genau dann in Ruhe, wenn sich die Druckkräfte gegenseitig aufheben, also

p ₁ d A = p ₂ d A      →       p ₁  =   p ₂

ist. Die Lage und Orientierung des Zylinders ist dabei offenbar ohne Belang.

Innerhalb des Fluids ist in Abwesenheit einer Schwerkraft (und anderer äußerer Kräfte) der Druck in allen Richtungen und an allen Orten im Fluid gleich groß.

Druckverteilung in einer Flüssigkeit mit Schwerkraft

Ähnliche Verhältnisse wie bei der #Druckverteilung in einer Flüssigkeit ohne Schwerkraft liegen bei einer lotrecht wirkenden Schwerkraft und einem horizontal orientierten Zylinder vor, siehe Bild.

• Genauso wie die Druckkräfte auf der Mantelfläche, wirkt auch die Gewichtskraft dm·g des Zylinders senkrecht zur Zylinderachse und trägt nichts zu den Kraftkomponenten parallel zur horizontalen Zylinderachse bei.
• Der Druck auf den Stirnflächen kann auch hier bei kleinen Inhalten dA als gleichverteilt angenommen werden. Dann ist die Druckkraft am einen Ende p₁ dA und am anderen Ende p₂ dA und ersterer entgegengesetzt. Der Zylinder bleibt in horizontaler Richtung genau dann in Ruhe, wenn sich wie oben die Druckkräfte auf den Stirnflächen gegenseitig aufheben:

p ₁ d A = p ₂ d A      →       p ₁  =   p ₂

Die Orientierung der x-Achse ist dabei offenbar ohne Belang, solange sie nur senkrecht zur Schwerkraft ist. Innerhalb des Fluids ist der Druck in einer horizontalen Ebene und dort in allen Richtungen im Fluid gleich groß.

Beim parallel zum Schwerefeld orientierten Zylinder wirkt nun die Gewichtskraft in Richtung der Druckkräfte auf den Stirnflächen.

• Die Druckkräfte auf der Mantelfläche wirken horizontal und tragen auch hier nichts zu den Kraftkomponenten parallel zur senkrechten Zylinderachse bei.
• In senkrechter Richtung muss die Druckkraft p₁ dA auf der unteren Stirnfläche die Druckkraft p₂ dA auf der oberen Stirnfläche und zusätzlich die Gewichtskraft dm·g des Zylinders tragen, damit der Zylinder seine Höhe beibehält, also weder aufsteigt noch absinkt. Das ist der Fall, wenn

p ₁ d A = p ₂ d A + d m·g

zutrifft. Der Unterschied der Druckkräfte an den Stellen 1 und 2 ist gleich dem Gewicht der dazwischen liegenden senkrechten Flüssigkeitssäule.

Bei konstanter Querschnittsfläche dA ist das Volumen des Zylinders dA·dz und bei (infinitesimal) kleinem Volumen kann dort die Dichte ρ als konstant angenommen werden mit der Konsequenz dm = ρ·dA·dz:

p ₁ d A = p ₂ d A + ρg·d A·d z      →       p ₁  =   p ₂  +   ρg·d z

Mit p₁ = p(z) und p₂ = p(z+dz) entsteht nach Division durch dz und Grenzübergang dz → 0 eine autonome Differentialgleichung

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial {\mathsf {z}}}}=-\rho g}$

die bei konstanter Wichte ρg auf das Pascal’sche Gesetz

${\displaystyle p({\mathsf {z}})=p_{0}-\rho g{\mathsf {z}}}$

führt. Die Integrationskonstante p₀ ist der Druck bei z = 0. Anders als im Abschnitt #Pascalsches Gesetz zählt hier die Koordinate z entgegen der Gewichtskraft nach oben; die Formel dort ergibt sich aus der hiesigen mit h = -z.

Beispiele

• Für Taucher ist es wichtig zu wissen, welchem Druck ihre Körpergase (Stickstoff) ausgesetzt sind, um die Taucherkrankheit zu vermeiden.
• Ein Bathyscaph muss einem besonders hohen hydrostatischen Druck standhalten.
• Wassertürme nutzen den hydrostatischen Druck, um den für die Versorgung der Endverbraucher notwendigen Leitungsdruck zu erzeugen.
• In der Hydrogeologie kann sich nach dem Darcy-Gesetz eine Strömung zwischen zwei Punkten nur dann einstellen, wenn die Druckdifferenz verschieden von der Differenz der hydrostatischen Drücke an den beiden Punkten ist.
• Ein Heber ist ein Gerät oder eine Einrichtung, mit der man eine Flüssigkeit aus einem Behälter über den Behälterrand in einen tiefer gelegenen Behälter umfüllen oder ins Freie entleeren kann, ohne den Behälter umzukippen und ohne dass er ein Loch oder einen Auslass unter dem Flüssigkeitsspiegel hat.

Gravitationsdruck in Planeten, Monden, Asteroiden und Meteoriten

Mit zunehmender Tiefe kann die Schwerebeschleunigung ${\displaystyle g}$ nicht mehr als konstant betrachtet werden. Wenn die Form des Himmelskörpers durch eine Kugel mit Radius ${\displaystyle R}$ beschrieben und die Dichte als konstant betrachtet wird, lässt sich der Druck wie folgt berechnen:

${\displaystyle p(h)=\int _{0}^{h}\rho \,g(R-r)\,\mathrm {d} r}$ .

Der Ortsfaktor ${\displaystyle g(r)}$ folgt aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz:

${\displaystyle g(r)=G{\frac {M(r)}{r^{2}}}=G{\frac {Mr}{R^{3}}}=\rho r{\frac {4\pi G}{3}}}$,

wobei ${\displaystyle M(r)}$ die Masse innerhalb einer konzentrischen Kugel innerhalb des Himmelskörpers und ${\displaystyle M=M(R)}$ dessen Gesamtmasse angibt. Mit der Formel für das Kugelvolumen ${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}}$ ergibt sich für den Druck im Zentrum:

${\displaystyle p_{\text{Z}}=p(R)={\frac {3G}{8\pi }}{\frac {M^{2}}{R^{4}}}=\rho ^{2}R^{2}{\frac {2\pi G}{3}}}$.

Gravitationsdruck in Sternen