Radfahrer im Detail mit Reibung

Der Radfahrer erreicht auf ebener Strecke ohne viel Mühe 20 km/h, da er nur gegen den Luftwiderstand und die Rollreibung antreten muss. Kommt er nun an einen ansteigenden Streckenabschnitt, muss er sich bei gleicher Geschwindigkeit stärker anstrengen als zuvor. Nach Erreichen der Kuppe geht es bergab und der Radfahrer rollt ohne Tretbewegungen weiter, muss sogar bremsen, damit er nicht zu schnell wird.

Auf den Fahrer samt Rad wirken zwei Kräfte: die Reibungskraft und die Gewichtskraft. Im ersten Streckenabschnitt zeigt die Gewichtskraft senkrecht zur Straße und weist somit nach Anwendung der Kräftezerlegung keine Kraftkomponente in Bewegungsrichtung auf. Kommt nun ein Anstieg, ergibt die Zerlegung der Gewichtskraft eine Kraftkomponente entgegen der Bewegungsrichtung. Nach Überschreiten der Kuppe hat die Schwerkraft eine Komponente in Bewegungsrichtung und entgegen der Reibungskraft.

Für eine Bewegung entgegen der Gewichtskraft muss am Körper Arbeit aufgewendet werden, die nun als potentielle Energie in ihm gespeichert ist. Bei einer Bewegung, die eine Komponente in Richtung der Gewichtskraft enthält, leistet der Körper Arbeit und seine potentielle Energie nimmt ab. Die Wegkomponente in Richtung Gewichtskraft heißt Höhe und zusammen mit der Kraft ergibt sich:

${\displaystyle E_{\mathrm {pot} }\equiv U_{\mathrm {G} }=F_{\mathrm {G} }\,h=m\,g\,h}$

• ${\displaystyle m}$ – Masse
• ${\displaystyle g}$ – Schwerebeschleunigung
• ${\displaystyle h}$ – Höhe über dem Boden (deutlich geringer als der Erdradius; ${\displaystyle h\ll R_{\mathrm {E} }}$)

Beispiel: Potentielle Energie auf der Erdoberfläche

Setzt man ${\displaystyle {\vec {g}}({\vec {r}})}$ konstant (was auf der Erdoberfläche für kleine Höhenunterschiede näherungsweise gilt), so ergibt sich wieder die im vorigen Abschnitt beschriebene Gleichung:

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{\mathrm {G} }({\vec {r}})&=-\int _{R}^{R+h}m\,{\vec {g}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=mgh\end{aligned}}}$

Beispiel: Potentielle Energie auf einer Planetenoberfläche

Betrachtet man ein System aus einem Planeten und einem Probeteilchen fernab der Planetenoberfläche, reicht obige Näherung nicht mehr aus; die lokale Gravitationsfeldstärke variiert mit dem Abstand vom Massenmittelpunkt des Planeten. Eine genauere Beschreibung ist mithilfe des Newtonschen Gravitationsgesetzes möglich,

${\displaystyle {\vec {F_{\mathrm {G} }}}({\vec {r}})=-{\frac {GMm}{|{\vec {r}}|^{3}}}{\vec {r}}=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\vec {e_{r}}};\quad r=|{\vec {r}}|;\quad {\vec {e_{r}}}={\frac {\vec {r}}{r}}}$.

Bei dieser Art der Betrachtung wählt man häufig den Bezugspunkt im unendlich fernen, d. h. ${\displaystyle U_{\mathrm {G} }(r=\infty )=0}$. Durch diese Wahl kann die potentielle Energie nur negative Werte annehmen. Die potentielle Energie des Teilchens auf der Planetenoberfläche entspricht dann der Arbeit, die verrichtet werden muss, um dieses Teilchen ins Unendliche zu transportieren, es also aus dem Gravitationsfeld zu entfernen. Auf der Planetenoberfläche ist die potentielle Energie des Teilchens minimal, im Unendlichen maximal. Mit der Vereinbarung, dass der Ursprung im Planetenmittelpunkt liegt, der Planet einen Radius ${\displaystyle R}$ hat und ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {r}}\cdot {\vec {e_{r}}}=\mathrm {d} r}$, erhält man

${\displaystyle U_{\mathrm {min} }=-\int _{\infty }^{R}{\vec {F_{\mathrm {G} }}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=-\int _{\infty }^{R}-{\frac {GMm}{r^{2}}}\,\mathrm {d} r=GMm\int _{\infty }^{R}{\frac {1}{r^{2}}}\,\mathrm {d} r=GMm\left[-{\frac {1}{r}}\right]_{\infty }^{R}=-{\frac {GMm}{R}}=-m\,g\,R}$

als potentielle Energie des Probeteilchens auf der Planetenoberfläche. Im letzten Schritt wurde die neue planetenabhängige Konstante

${\displaystyle g={\frac {GM}{R^{2}}}}$

definiert. Hierbei ist ${\displaystyle M}$ die Masse des Planeten, ${\displaystyle m}$ die Masse des Probeteilchens und ${\displaystyle G}$ die Gravitationskonstante.

Beispiel Gravitationsfeld

Die Kraft auf einen Probekörper der Masse ${\displaystyle m}$ in einem gegebenen Gravitationsfeld errechnet sich aus:

${\displaystyle {\vec {F}}_{\mathrm {G} }({\vec {r}})=m\,{\vec {g}}({\vec {r}}).}$

Durch Einsetzen in das Arbeitsintegral zeigt sich nun die Beziehung zwischen der potentiellen Energie einer Masse und dem Gravitationspotential ${\displaystyle \phi _{\mathrm {G} }}$, das ebenfalls ein Skalarfeld darstellt.

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{\mathrm {G} }({\vec {r}})&=-\int {\vec {F}}d{\vec {r}}=-m\int {\vec {g}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}\\\,&=m\,\phi _{\mathrm {G} }({\vec {r}}).\end{aligned}}}$

Anschaulich beschreibt der Faktor ${\displaystyle m}$ die Abhängigkeit von dem Probekörper und das Potential ${\displaystyle \phi _{\mathrm {G} }({\vec {r}})}$ die Feldeigenschaft.^[3]