Reguläre Matrix

Eine reguläre, invertierbare oder nichtsinguläre Matrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, die eine Inverse besitzt. Reguläre Matrizen können auf mehrere äquivalente Weisen charakterisiert werden. Zum Beispiel zeichnen sich reguläre Matrizen dadurch aus, dass die durch sie beschriebene lineare Abbildung bijektiv ist. Daher ist ein lineares Gleichungssystem mit einer regulären Koeffizientenmatrix stets eindeutig lösbar. Die Menge der regulären Matrizen fester Größe mit Einträgen aus einem Ring oder Körper bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung die allgemeine lineare Gruppe.

Nicht zu jeder quadratischen Matrix existiert eine Inverse. Eine quadratische Matrix, die keine Inverse besitzt, wird singuläre Matrix genannt.

Definition

Eine quadratische Matrix ${\displaystyle A\in R^{n\times n}}$ mit Einträgen aus einem unitären Ring ${\displaystyle R}$ (in der Praxis meist dem Körper der reellen Zahlen) heißt regulär, wenn eine weitere Matrix ${\displaystyle B\in R^{n\times n}}$ existiert, sodass

${\displaystyle A\cdot B=B\cdot A=I}$

gilt, wobei ${\displaystyle I}$ die Einheitsmatrix bezeichnet. Die Matrix ${\displaystyle B}$ ist hierbei eindeutig bestimmt und heißt inverse Matrix zu ${\displaystyle A}$. Die Inverse einer Matrix ${\displaystyle A}$ wird üblicherweise mit ${\displaystyle A^{-1}}$ bezeichnet. Bei einer singulären Matrix existiert keine solche Matrix ${\displaystyle B}$.

Ist ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring, Körper oder Schiefkörper, so sind die beiden Bedingungen ${\displaystyle A\cdot B=I}$ und ${\displaystyle B\cdot A=I}$ äquivalent, das heißt, eine linksinverse Matrix ist dann auch rechtsinvers und umgekehrt, sprich, die obige Bedingung lässt sich durch ${\displaystyle B\cdot A=I}$ beziehungsweise ${\displaystyle A\cdot B=I}$ abschwächen.

Beispiele

Die reelle Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}}}$

ist regulär, denn sie besitzt die Inverse

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}}}$,

mit

${\displaystyle A\cdot B={\begin{pmatrix}2&3\\1&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}$.

Die reelle Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&3\\0&0\end{pmatrix}}}$

ist singulär, denn für eine beliebige Matrix

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

gilt

${\displaystyle A\cdot B={\begin{pmatrix}2&3\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2a+3c&2b+3d\\0&0\end{pmatrix}}\neq I}$.

Äquivalente Charakterisierungen

Weitere Beispiele

Die Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3x^{3}&x^{2}-1\\3x^{2}+3&x\end{pmatrix}}}$

mit Einträgen aus dem Polynomring ${\displaystyle R=\mathbb {R} [x]}$ hat die Determinante ${\displaystyle \det A=3x^{3}\cdot x-(x^{2}-1)\cdot (3x^{2}+3)=3}$ und ${\displaystyle 3}$ ist invertierbar in ${\displaystyle R}$. Somit ist ${\displaystyle A}$ regulär in ${\displaystyle R^{2\times 2}}$. Die inverse Matrix ist

${\displaystyle B={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}x&1-x^{2}\\-3x^{2}-3&3x^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{3}}\cdot x&{\tfrac {1}{3}}\cdot (1-x^{2})\\-x^{2}-1&x^{3}\end{pmatrix}}}$.

Die Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}[2]_{17}&[1]_{17}\\{}[6]_{17}&[4]_{17}\end{pmatrix}}}$

mit Einträgen aus dem Restklassenkörper ${\displaystyle R=\mathbb {Z} /17\mathbb {Z} }$ hat die Determinante ${\displaystyle \det A=[2]_{17}\cdot [4]_{17}-[1]_{17}\cdot [6]_{17}=[2]_{17}}$ und ${\displaystyle [2]_{17}}$ ist invertierbar in ${\displaystyle R}$. Somit ist ${\displaystyle A}$ regulär in ${\displaystyle R^{2\times 2}}$. Die inverse Matrix ist

${\displaystyle B={\frac {1}{[2]_{17}}}{\begin{pmatrix}[4]_{17}&[-1]_{17}\\{}[-6]_{17}&[2]_{17}\end{pmatrix}}={\frac {1}{[2]_{17}}}{\begin{pmatrix}[4]_{17}&[16]_{17}\\{}[11]_{17}&[2]_{17}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}[2]_{17}&[8]_{17}\\{}[14]_{17}&[1]_{17}\end{pmatrix}}}$.

Die Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}[3]_{12}&[7]_{12}\\{}[1]_{12}&[9]_{12}\end{pmatrix}}}$

mit Einträgen aus dem Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ hat die Determinante ${\displaystyle \det A=[3]_{12}\cdot [9]_{12}-[7]_{12}\cdot [1]_{12}=[20]_{12}=[8]_{12}}$. Da ${\displaystyle 8}$ und ${\displaystyle 12}$ nicht teilerfremd sind, ist ${\displaystyle \det A=[8]_{12}}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ nicht invertierbar. Daher ist ${\displaystyle A}$ nicht regulär.

Eigenschaften

Ist die Matrix ${\displaystyle A}$ regulär, so ist auch ${\displaystyle A^{-1}}$ regulär mit der Inversen

${\displaystyle \left(A^{-1}\right)^{-1}=A}$.

Sind die beiden Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ regulär, so ist auch ihr Produkt ${\displaystyle A\cdot B}$ regulär mit der Inversen

${\displaystyle \left(A\cdot B\right)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}}$.

Die Menge der regulären Matrizen fester Größe bildet demnach mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung eine (im Allgemeinen nichtkommutative) Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$. In dieser Gruppe ist die Einheitsmatrix das neutrale Element und die inverse Matrix das inverse Element. Für eine reguläre Matrix ${\displaystyle A}$ gelten damit auch die Kürzungsregeln

${\displaystyle A\cdot B=A\cdot C\Rightarrow B=C}$

und

${\displaystyle B\cdot A=C\cdot A\Rightarrow B=C}$,

wobei ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$ beliebige Matrizen passender Größe sind.

Eine singuläre Matrix besitzt den Eigenwert null, d. h., es gibt einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor, der von der Matrix auf ersteren abgebildet wird. Alle Vektoren, die von der Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden, erzeugen den Eigenraum zum Eigenwert null. Die Dimension dieses Eigenraumes ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts null, siehe Jänich (2008), S. 197 ff.

Reguläre Matrizen über einem Restklassenkörper

Eine Matrix mit Einträgen aus einem Restklassenkörper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ mit einer Primzahl ${\displaystyle p}$ ist genau dann regulär, wenn die Zeilenvektoren linear unabhängig sind.

Für den Restklassenkörper ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$ kann die Anzahl der regulären ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen wie folgt berechnet werden:

• Jedes der ${\displaystyle n}$ Elemente der 1. Zeile kann unabhängig voneinander 2 Werte annehmen. Der Nullvektor ist ausgeschlossen. Für die 1. Zeile gibt es also ${\displaystyle 2^{n}-1}$ Möglichkeiten.
• Für die 2. Zeile sind alle Vektoren ausgeschlossen, die eine Linearkombination der 1. Zeile sind, also ${\displaystyle 2}$ Vektoren. Für die 2. Zeile gibt es also ${\displaystyle 2^{n}-2}$ Möglichkeiten.
• Für die 3. Zeile sind alle Vektoren ausgeschlossen, die eine Linearkombination der 1. Zeile und 2. Zeile sind, also ${\displaystyle 2^{2}}$ Vektoren. Für die 3. Zeile gibt es also ${\displaystyle 2^{n}-2^{2}}$ Möglichkeiten.
• Allgemein gibt es für die Zeile mit dem Index ${\displaystyle k}$ also ${\displaystyle 2^{n}-2^{k-1}}$ mögliche Werte. Für alle Zeilen der Matrix ergeben sich daher insgesamt ${\displaystyle (2^{n}-2^{0})\cdot (2^{n}-2^{1})\cdot (2^{n}-2^{2})\cdot \ldots \cdot (2^{n}-2^{n-1})}$ Möglichkeiten.

Daraus lässt sich der Anteil der regulären ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen an allen ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen bestimmen. Es gibt ${\displaystyle 2^{n\cdot n}=2^{n^{2}}}$ verschiedene ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen, weil jedes der ${\displaystyle n\cdot n=n^{2}}$ Elemente unabhängig voneinander 2 Werte annehmen kann. Der Anteil der regulären ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen beträgt daher

${\displaystyle {\begin{aligned}&(2^{n}-2^{0})\cdot (2^{n}-2^{1})\cdot (2^{n}-2^{2})\cdot \ldots \cdot (2^{n}-2^{n-1})/2^{n\cdot n}\\&={\frac {2^{n}-2^{0}}{2^{n}}}\cdot {\frac {2^{n}-2^{1}}{2^{n}}}\cdot {\frac {2^{n}-2^{2}}{2^{n}}}\cdot \ldots \cdot {\frac {2^{n}-2^{n-1}}{2^{n}}}\\&=\left(1-{\frac {1}{2^{n}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {1}{2^{n-1}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {1}{2^{n-2}}}\right)\cdot \ldots \cdot \left(1-{\frac {1}{2^{1}}}\right)\\&=\prod _{k=1}^{n}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\right)\end{aligned}}}$

Für ${\displaystyle n}$ gegen unendlich konvergiert dieses Produkt nach dem Pentagonalzahlensatz wegen ${\displaystyle |{\tfrac {1}{2}}|<1}$ gegen einen endlichen Grenzwert. Dieser beträgt etwa 0,289.

Dieses Ergebnis lässt sich für beliebige Primzahlen ${\displaystyle p}$ auf den Restklassenkörper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ verallgemeinern. Es gibt ${\displaystyle p^{n\cdot n}=p^{n^{2}}}$ verschiedene ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen, von denen ${\displaystyle (p^{n}-p^{0})\cdot (p^{n}-p^{1})\cdot (p^{n}-p^{2})\cdot \ldots \cdot (p^{n}-p^{n-1})}$ reguläre ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen sind. Der Anteil der regulären ${\displaystyle n\times n}$-Matrixen beträgt ${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(1-\left({\frac {1}{p}}\right)^{k}\right)}$.^[1]

Literatur

• Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-32185-6.
• K. Jänich: Lineare Algebra. 11. Auflage. Springer-Lehrbuch, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-75502-9, doi:10.1007/978-3-540-75502-9. 

Weblinks

• Non-singular matrix. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online). 
• Eric W. Weisstein: Nonsingular Matrix. In: MathWorld (englisch).
• CWoo: Invertible matrix. In: PlanetMath. (englisch)

Einzelnachweise

1. ↑ StackExchange: Number of non singular matrices over a finite field of order 2