Rotationsenergie

Rotationsenergie ist die kinetische Energie eines starren Körpers (Beispiel: Schwungrad), der um eine feste Achse rotiert. Diese Energie ist abhängig von dem Trägheitsmoment und der Winkelgeschwindigkeit des Körpers. Je mehr Masse von der Rotationsachse entfernt ist, desto mehr Energie wird benötigt, um einen Körper auf eine bestimmte Rotationsgeschwindigkeit zu bringen.

Dies lässt sich durch folgendes Experiment verdeutlichen: Zwei gleich schwere Kugeln mit identischen Radien werden auf eine schiefe Ebene gelegt und rollen herunter. Eine Kugel besteht aus einem leichten Material wie Kunststoff und ist massiv gefertigt. Die andere Kugel jedoch ist hohl, besteht aber aus einem dichteren und somit schwereren Material als Kunststoff. Die hohle Kugel wird langsamer rollen, da bei ihr die gesamte Masse auf einer dünnen Schale mit gewissem Abstand zur Rotationsachse verteilt ist. Die massive Kugel mit derselben Masse rollt schneller, weil prozentual mehr Masse nahe der Rotationsachse liegt und sich daher langsamer auf der Kreisbahn bewegen muss.

Rotationsenergie ist unter anderem von Bedeutung bei: Turbinen, Generatoren, Rädern und Reifen, Wellen, Propellern.

Trägheitsmoment

Ein mit der Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \omega }$ um die x-Achse rotierender Körper besitzt die Rotationsenergie

${\displaystyle E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}I_{x}\omega ^{2}}$

mit

• ${\displaystyle I_{x}}$ : Trägheitsmoment des Körpers um die x-Achse
• ${\displaystyle \omega }$ : Winkelgeschwindigkeit

Allgemein lässt sich dies ausdrücken als

${\displaystyle E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}^{T}I{\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}I_{\alpha \beta }\omega _{\alpha }\omega _{\beta }}$

mit

• ${\displaystyle I}$ : Trägheitstensor
• ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ : Winkelgeschwindigkeit

Um die Energie eines um eine beliebige Achse (Einheitsvektor ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ) rotierenden Körpers anzugeben, wird die Winkelgeschwindigkeit nun durch ihre Vektorkomponenten ausgedrückt:

${\displaystyle {\vec {\omega }}=\omega {\hat {n}}=\omega \cdot {\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}}$   mit   ${\displaystyle \left|{\hat {n}}\right|=1}$

wobei die Komponenten für n die Komponenten in x-, y- und z-Achsenrichtung darstellen. Für die Rotationsenergie gilt nun:

${\displaystyle E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}I_{\alpha \beta }n_{\alpha }n_{\beta }\omega ^{2}={\frac {1}{2}}\theta _{n}\omega ^{2}}$

Dabei ist ${\displaystyle \theta _{n}}$ das Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen Achse ${\displaystyle {\hat {n}}}$

${\displaystyle \theta _{n}=\sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}I_{\alpha \beta }n_{\alpha }n_{\beta }}$

Beispiele

• Eine Kugel mit Radius ${\displaystyle r}$ hat das Trägheitsmoment ${\displaystyle I={\tfrac {2}{5}}\,mr^{2}}$ . Wenn sie mit der Geschwindigkeit ${\displaystyle v}$ auf der Ebene rollt, beträgt ihre Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \omega ={\tfrac {v}{r}}}$ und folglich ihre gesamte kinetische Energie:

${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }=E_{\mathrm {trans} }+E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2}{5}}mr^{2}\cdot \omega ^{2}={\frac {7}{10}}mv^{2}.}$

• Ein Körper, der um die Diagonale durch seine xy-Fläche rotiert, hat die folgende Winkelgeschwindigkeit:

${\displaystyle {\vec {\omega }}=\omega {\hat {n}}}$   mit   ${\displaystyle {\hat {n}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}}$

Daraus folgt für das Trägheitsmoment bzgl. dieser Drehachse:

${\displaystyle \theta _{n}={\hat {n}}^{T}I{\hat {n}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(1,1,0\right)\left({\begin{matrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{12}&I_{22}&I_{23}\\I_{13}&I_{23}&I_{33}\\\end{matrix}}\right){\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{matrix}1\\1\\0\\\end{matrix}}\right)={\frac {1}{2}}I_{11}+I_{12}+{\frac {1}{2}}I_{22}}$

Die Rotationsenergie erhält man nun aus

${\displaystyle E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}\theta _{n}\omega ^{2}=\left({\frac {1}{4}}I_{11}+{\frac {1}{2}}I_{12}+{\frac {1}{4}}I_{22}\right)\omega ^{2}}$

Drehimpuls

Die Rotationsenergie kann man durch den Drehimpuls ${\displaystyle {\vec {L}}}$ ausdrücken.

${\displaystyle E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {L}}={\frac {{\vec {L}}^{2}}{2I}}}$   mit   ${\displaystyle {\vec {L}}=I\cdot {\vec {\omega }}}$

Es ist zu beachten, dass im Allgemeinen der Drehimpuls und die Winkelgeschwindigkeit nicht parallel zueinander stehen (außer bei Rotation um eine Hauptträgheitsachse); siehe auch Trägheitsellipsoid.

Siehe auch

• potentielle Energie
• Rollersatzmasse