Schwerefeld

Ein Schwerefeld ist in der Physik ein Kraftfeld, das durch Gravitations- und Trägheitswirkungen verursacht wird.

Im engeren Sinne – insbesondere in den Geowissenschaften – wird das Schwerefeld von einem Himmelskörper, z. B. der Erde, hervorgerufen und äußert sich darin, dass andere Körper von ihm angezogen werden und somit eine Gewichtskraft erfahren. Das Schwerefeld setzt sich aus dem Gravitationsfeld des Himmelskörpers (das in der physikalischen Literatur gelegentlich selbst als Schwerefeld bezeichnet wird)[1][2] und einem durch seine Rotation verursachten Zentrifugalanteil zusammen.

Im weiteren Sinne wird jedes Kraftfeld, das in einem beliebigen beschleunigten Bezugssystem (z. B. in einem Raumschiff oder einer Zentrifuge) durch Gravitation und Trägheitseinflüsse hervorgerufen wird, als Schwerefeld bezeichnet.

Die Gravimetrie beschäftigt sich mit der Erforschung des Schwerefeldes.

Stärke und Richtung des Schwerefeldes

Die Feldstärke des Schwerefeldes wird Schwere, Fallbeschleunigung, Schwerebeschleunigung oder (im Falle der Erde) Erdbeschleunigung genannt. Als Formelzeichen ist ${\displaystyle {\vec {g}}}$ üblich. Sie ist eine vektorielle Größe und gibt Betrag und Richtung der Gewichtskraft eines Körpers bezogen auf dessen Masse an:

${\displaystyle {\vec {g}}={\frac {{\vec {F}}_{G}}{m}}}$

Aufgrund dieser Definition hat sie die Dimension einer Beschleunigung. Mit dieser Beschleunigung, auf der Erde etwa 9,8 m s^-2, setzt sich ein frei fallender Körper in Bewegung. Der Betrag der Fallbeschleunigung wird auch Ortsfaktor genannt. Diese Bezeichnung betont die Eigenschaft von ${\displaystyle g}$ als Proportionalitätsfaktor zwischen Gewichtskraft und Masse am jeweiligen Ort.

Die Fallbeschleunigung wird in der SI-Einheit ${\displaystyle \mathrm {\tfrac {m}{s^{2}}} }$ gemessen, gleichwertig ist eine Angabe in ${\displaystyle \mathrm {\tfrac {N}{kg}} }$ . In den Geowissenschaften ist darüber hinaus die Einheit Gal verbreitet. Es gilt: 100 Gal = 1 m s^-2.

Die Fallbeschleunigung ist die Vektorsumme aus einem Gravitations- und einem Zentrifugalanteil:

${\displaystyle {\vec {g}}={\vec {g}}_{\mathrm {Gravitation} }+{\vec {a}}_{\mathrm {Zentrifugal} }}$

• Die Gravitationsbeschleunigung wird durch das Gravitationsfeld verursacht. Sofern man den Himmelskörper als kugelsymmetrisch betrachten kann, berechnet sich die Gravitationsbeschleunigung nach dem Gravitationsgesetz:

${\displaystyle {\vec {g}}_{\mathrm {Gravitation} }=-{\frac {GM}{r^{2}}}\,{\vec {e}}_{r}}$

Hierbei ist ${\displaystyle G}$ die Gravitationskonstante, ${\displaystyle M}$ die Masse des Himmelskörpers, ${\displaystyle r}$ der Abstand zwischen dem Schwerpunkt des Himmelskörper und dem Probekörper und ${\displaystyle {\vec {e}}_{r}}$ ein Einheitsvektor in Richtung dieses Abstandsvektors. Falls die Masseverteilung des Himmelskörpers nicht isotrop ist, wie das meist der Fall ist, ergeben sich daraus Schwereanomalien.

• Die Zentrifugalbeschleunigung ${\displaystyle {\vec {a}}_{\mathrm {Zentrifugal} }}$ wirkt sich aus, weil man sich auf der Oberfläche des Himmelskörpers in einem mitrotierenden Bezugssystem befindet.

• Gezeitenkräfte entstehen durch den Einfluss anderer Himmelskörper (z. B. durch den Mond oder die Sonne). Ob diese Kräfte als Teil des Schwerefeldes betrachtet werden, ist eine Frage der Definition. In diesem Artikel werden sie nicht zum Schwerefeld gezählt.

Für das Schwerefeld an einer Planetenoberfläche ergibt sich daraus: Die Gravitationsbeschleunigung ist von der Höhe abhängig, denn nach dem Gravitationsgesetz ist ${\displaystyle {\vec {g}}_{\mathrm {Gravitation} }\sim {\frac {1}{r^{2}}}}$ . Ebenfalls aus dieser Beziehung folgt, dass durch die Abplattung des Planeten der Abstand zum Planetenmittelpunkt an den Polen am kleinsten, die Gravitationswirkung also am größten ist. Dazu kommt, dass an den Polen des Himmelskörpers die Zentrifugalbeschleunigung verschwindet, weil der Abstand von der Rotationsachse Null ist. Am schwächsten ist das Schwerefeld somit am Äquator: Dort ist die Zentrifugalbeschleunigung maximal und der Gravitationswirkung entgegen gerichtet und der Abstand zum Planetenmittelpunkt am größten.

Die Richtung der Fallbeschleunigung heißt Lotrichtung. Diese Lotrichtung weist ungefähr zum Gravizentrum des Himmelskörpers hin. Abweichungen entstehen (von Schwereanomalien abgesehen) dadurch, dass die Zentrifugalbeschleunigung bei mittleren Breiten in einem schiefen Winkel zur Gravitationsbeschleunigung steht. Linien, die der Lotrichtung folgen, heißen Lotlinien. Sie sind die Feldlinien des Schwerefeldes. Bewegt sich ein Körper im Schwerefeld, so weicht mit zunehmender Geschwindigkeit die Richtung der wirksamen Beschleunigung von der Lotrichtung ab. Dies kann als Wirkung der Corioliskraft gedeutet werden.

Schwerepotential

Da die Gewichtskraft eine konservative Kraft ist, ist die Fallbeschleunigung als zugehörige Feldstärke der negative Gradient eines Potentials:

${\displaystyle {\vec {g}}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}W({\vec {r}})}$

Hierbei ist ${\displaystyle W({\vec {r}})}$ das Schwerepotential. Es setzt sich – ähnlich wie die Fallbeschleunigung selbst – aus einem Gravitations- und einem Zentrifugalanteil zusammen:

${\displaystyle W({\vec {r}})=G\iiint \!{\frac {\rho }{l}}\,\mathrm {d} V+{\frac {({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})^{2}}{2}}}$

Darin ist der erste Summand das Gravitationspotential , der zweite Summand, dessen Form voraussetzt, dass der Ursprung für den Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {r}}}$ zum Aufpunkt (dem Ort, für den das Potential berechnet wird) auf der Rotationsachse liegt, das Potential der Zentrifugalbeschleunigung. Das Integral erstreckt sich über das Volumen des Himmelskörpers. ${\displaystyle \rho }$ ist die Dichte des Volumenelements ${\displaystyle \mathrm {d} V}$ und ${\displaystyle l}$ dessen Abstand vom Aufpunkt.

Flächen, auf denen das Schwerepotential konstant ist, heißen Potentialflächen oder Niveauflächen des Schwerefeldes. Sie werden von Lotlinien rechtwinklig durchstoßen. Beim Übergang von einer Niveaufläche zu einer höheren muss Hubarbeit verrichtet werden, siehe auch Potential (Physik).

Allgemeinere Definition

Wählt man als Bezugssystem nicht die Oberfläche eines Planeten, sondern ein beliebiges beschleunigtes Bezugssystem, so kann die dort wirksame „Fall“-Beschleunigung ebenfalls als Schwerefeld verstanden werden. Auch die in diesem Bezugssystem herrschenden Kräfte setzen sich aus Gravitations- und Trägheitskräften zusammen.

Beispiele

• In einem frei fallenden Bezugssystem sind die Gravitationskraft und die Trägheitskraft entgegengesetzt gleich. Ein Körper im frei fallenden Bezugssystem ist also schwerelos, d. h. kräftefrei. Also ist das frei fallende Bezugssystem ein Inertialsystem. Auch eine Raumstation, die sich in einer Umlaufbahn um die Erde befindet, befindet sich im „freien Fall“, da ihre Bewegung ausschließlich durch die Gravitation bestimmt wird. Die Schwerelosigkeit, d. h. das Verschwinden des Schwerefeldes an Bord dieser Raumstation ist also nicht die Folge einer Abwesenheit der Gravitation, sondern die Folge eines Gleichgewichts von Gravitationskraft und Trägheitskraft. (siehe Schwerelosigkeit).
• Ein Planet bewegt sich auf einer Umlaufbahn der Sonne auf einer Kreis- oder Ellipsenbahn. Wählt man nun die Achse Sonne-Planet als Bezugssystem für die Bewegung eines dritten Körpers, z. B. einer Raumsonde, so wird das für diesen Körper wirksame Schwerefeld durch das Zusammenwirken der Gravitation beider Himmelskörper und des Zentrifugalfelds aufgrund der Rotation des Bezugssystems bestimmt. (siehe Lagrange-Punkte).

Erdschwerefeld

Große Himmelskörper nehmen unter dem Einfluss ihres Schwerefeldes eine Form an, die einer der Niveauflächen entspricht. Im Schwerefeld der Erde wird jene Niveaufläche, die ungefähr der Erdoberfläche auf Höhe des Meeresspiegels folgt, als Geoid bezeichnet. Sie ist durch die Zentrifugalbeschleunigung leicht abgeplattet. Schwereanomalien, d. h. globale, regionale und lokale Unregelmäßigkeiten, da die Masse sowohl in der Erdkruste (Gebirge, Kontinentalplatten) als auch tiefer (in Erdmantel und -Kern) nicht gleichmäßig verteilt ist, deformieren das Geoid. Die Schwereanomalien wirken sich auf den Betrag der Schwerkraft mit bis zu 0,01 % aus, und auch die Lotrichtung wird um bis zu 0,01° von der Richtung zum Erdmittelpunkt abgelenkt (Lotabweichung). Als Folge davon weicht das Geoid vertikal bis zu 100 m vom mittleren Erdellipsoid ab. Die Satellitengeodäsie bestimmt das Geoid mit Hilfe der Beobachtung von Satellitenbahnen. Im näheren Weltraum um die Erde herum ist das Schwerefeld wegen der Schwereanomalien nur annähernd kugelförmig. Die Abweichungen in Betrag und Richtung liegen im Promillebereich und beeinflussen erdnahe Satellitenbahnen auf einige Kilometer bzw. Zehntelgrad, es lassen sich Schwankungen des Erdschwerefeldes in der Größenordnung von 200 µm/s² erkennen; die modernste Gradiometrie kann auch noch wesentlich kleinere Bahnstörungen erfassen (siehe GRACE und GOCE).

Mit den Schwankungen der Schwerkraft auf der Erdoberfläche befassen sich die Artikel Schweregradient und Vertikalgradient genauer. Mit Hilfe von Normalschwereformeln wird die Schwerebeschleunigung an einem Punkt in der Nähe der Erdoberfläche abgeschätzt.

Erdschwerefeld an der Erdoberfläche

Der Wert der Erdbeschleunigung variiert wegen der Zentrifugalkraft, Erdabplattung und Höhenprofil regional um einige Promille um den ungefähren Wert  ≈ 9,81 m/s². Die Schwerebeschleunigung beträgt 9,832 m/s² an den Polen und 9,745 m/s² am Äquator. Die Anziehung am Pol ist somit um ca. 0,5 % größer als am Äquator, die Gewichtskraft eines Menschen, die an dem Äquator 800 N beträgt, erhöht sich deshalb an den Erdpolen auf 804,24 N. 2013 wurde ermittelt, dass die Erdbeschleunigung mit 9,7639 m/s² auf dem Nevado Huascarán am geringsten ist.[3][4]

Normfallbeschleunigung

1901 wurde auf der dritten Generalkonferenz für Maß und Gewicht ein Standardwert, die Normfallbeschleunigung, auf g_n = 9,80665 m/s² festgelegt, ein Wert der sich schon in verschiedenen Landesgesetzen etabliert hatte und der Definition technischer Maßeinheiten dient (DIN 1305). Grundlage waren (aus heutiger Sicht überholte) Messungen von G. Defforges, Service Géographique de l’Armée, welche zu einem Wert für 45 Grad Breite, Meereshöhe extrapoliert wurden. Aufgrund der später entdeckten Schwereanomalien gibt es keinen einheitlichen Wert auf einem Breitengrad. Dementsprechend ist die Normfallbeschleunigung nicht als Erdbeschleunigung eines bestimmten Ortes oder als ein irgendwie berechneter Mittelwert definiert, sondern eine Festlegung.[5][6]

Deutsches Hauptschwerenetz 1996

In Deutschland ist die ortsabhängige Erdbeschleunigung im Deutschen Hauptschwerenetz 1996 (DHSN 96) festgehalten, welches eine Fortsetzung des (westdeutschen) DHSN 82 ist. Es ist neben dem Deutschen Hauptdreiecksnetz für den Ort und dem Deutschen Haupthöhennetz für die Höhe die dritte Größe zur eindeutigen Festlegung eines geodätischen Bezugssystems. Das deutsche Schwerenetz stützt sich auf ca. 16.000 Messpunkte, den Schwerefestpunkten.

Historisch bedeutsam war der von Kühnen und Furtwänger vom Potsdamer Geodätischen Institut 1906 bestimmte Wert 9,81274 m/s² in Potsdam. Potsdam wurde 1906 der Fundamentalpunkt für die Bestimmung der lokalen Erdbeschleunigung mittels Differenzbestimmung, bis das International Gravity Standardization Net 1971 eingeführt wurde.[7][8]

Erdschwerefeld im Erdinneren

Vereinfacht wird der Schwerkraftverlauf im Erdinneren unter der Annahme betrachtet, dass die Erde eine homogene Kugel ist. Dann ergibt sich ein linearer Anstieg der Schwerebeschleunigung von null am Erdmittelpunkt bis zu einem Maximum an der Erdoberfläche; ab diesem Punkt folgt die Kurve dann dem invers-quadratischen Verlauf.

Am Erdmittelpunkt wirkt keine Schwerkraft, es herrscht Schwerelosigkeit. Im Erdkern wächst die Schwerebeschleunigung mit dem Abstand vom Erdmittelpunkt monoton an. An der Kern-Mantel-Grenze (in ca. 2900 km Tiefe), nach deren Entdeckern Emil Wiechert und Beno Gutenberg auch Wiechert-Gutenberg-Diskontinuität genannt, erreicht sie ein Maximum von knapp 10,68 m/s². Dieser Effekt hat seine Ursache darin, dass der überwiegend metallische Erdkern mehr als doppelt so dicht wie der Erdmantel und die Erdkruste ist. Von dort bis zu ca. 4900 km nimmt sie zunächst wieder langsam bis auf 9,93 m/s² ab, steigt nochmals bei 5700 km auf 10,01 m/s² und sinkt dann monoton bis sie an der Erdoberfläche etwa 9,82 m/s² erreicht.

Könnte man einen Tunnel durch die Erde hindurch bohren, Reibungsverluste ausschalten und dem Einfluss der Corioliskraft entgegenwirken und wäre die Dichte der Erde in jedem Punkt gleich der mittleren Dichte der Erde, würde ein in diesen Schacht hineinfallender Gegenstand im freien Fall in rund 42 Minuten bis zum anderen Ende hindurchfallen. Die Bewegung des Gegenstandes wäre wie eine Schwingung mit einer Periodenlänge von 84 Minuten, der sogenannten Schuler-Periode.

Erdschwerefeld außerhalb der Erde

In der Nähe der Erdoberfläche nimmt g um etwa 3,1 µm/s² pro gestiegenem Meter ab.

Außerhalb der Erde nimmt die Schwerebeschleunigung proportional zum Quadrat des Abstandes vom Erdmittelpunkt ab. Das Erdschwerefeld ist somit (wie das Schwerefeld jedes Himmelskörpers) prinzipiell unbegrenzt, wird aber mit wachsender Entfernung schnell schwächer. In niedrigen Satellitenhöhen von 300 bis 400 km nimmt die Erdbeschleunigung um 10 bis 15 % ab, in 5000 km um ca. 70 %. Nur im Nahbereich eines schweren Himmelskörpers kann der Einfluss der anderen Himmelskörper in der Praxis vernachlässigt werden, da er dann sehr gering ist – der Einfluss des nahen Körpers ist dominierend.

Geopotential

Das Schwerepotential der Erde wird auch Geopotential genannt. Je größer die lokale Schwerebeschleunigung, desto geringer der Abstand zwischen den Geopotentialflächen. Die Potentialdifferenz zum Geoid

${\displaystyle C=W_{P}-W_{0}=\int _{P_{0}}^{P}\mathrm {d} W=-\int _{P_{0}}^{P}{\vec {g}}\,\mathrm {d} {\vec {s}}}$

wird geopotentielle Kote genannt. Wird die geopotentielle Kote durch die Normalschwere geteilt, so ergibt sich die dynamische Höhe (Einheit geopotentieller Meter, gpm). Für mittlere Breiten entsprechen diese dynamischen Höhen ungefähr der metrischen Höhe über dem Meeresspiegel.

Das Geopotential wird in der Meteorologie für die Beschreibung der potentiellen Energie der Luft in einer bestimmten Höhe verwendet. Linien gleicher potentieller Energie nennt man Isohypsen (auch Isopotentiale genannt), sie werden auf speziellen Wetterkarten eingetragen. Die Geopotentialtendenzgleichung ermöglicht prognostische Aussagen über das Geopotentialfeld und ist eines der wichtigsten Instrumente zur Erstellung von Rechenmodellen zur Wettervorhersage.

Schwere- und Gravitationsbeschleunigung ausgewählter Himmelskörper

Die Tabelle enthält die Gravitations-, die Zentrifugal- und die resultierende Schwerebeschleunigung der acht Planeten unseres Sonnensystems und des Mondes. Die Werte gelten für die Oberfläche am Äquator und sind in m/s² angegeben. Das negative Vorzeichen der Zentrifugalbeschleunigung soll verdeutlichen, dass diese der Gravitationsbeschleunigung entgegengerichtet ist.

Einzelnachweise

1. ↑ Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-26034-9. 
2. ↑ Torsten Fließbach: Mechanik. 5. Auflage. Spektrum, München 2007, ISBN 978-3-8274-1683-4. 
3. ↑ Luh: Erdbeschleunigung schwankt stärker als gedacht dradio – Forschung Aktuell – MELDUNG von 20. August 2013
4. ↑ Gravity Variations Over Earth Much Bigger Than Previously Thought in Science Daily vom 4. September 2013
5. ↑ Tate, 1969.
6. ↑ Comptes rendus de la 3^e CGPM (1901), 1901, 70, dort noch in cm/s². BIPM - Résolution de la 3e CGPM
7. ↑ Landesamt für innere Verwaltung (LAiV) Mecklenburg-Vorpommern: Raumbezug - Lage-, Höhen- und Schwerefestpunktfelder
8. ↑ Tate, 1969.
9. 1 2 David R. Williams: Planetary Fact Sheet - Metric. NASA, 29. November 2007; abgerufen am 4. August 2008 (englisch, inkl. Unterseiten). 
10. ↑ Deutschschweizerische Mathematikkommission [DMK] und Deutschschweizerische Physikkommission [DPK] (Hrsg.): Formeln und Tafeln. 11. Auflage. Orell Füssli Verlag AG, Zürich 2006, ISBN 978-3-280-02162-0, S. 188. 

Weblinks

• Berechnen des Wertes der Schwerebeschleunigung für beliebige Orte (Gravity Information System der PTB)
• GGMplus – 200m-resolution maps of Earth's gravity field Gallery Western Australian Center for Geodesy, Curtin University
• GeoForschungsZentrum Potsdam: Gravity Field and Gravimetry

Literatur

• Douglas Roy Tate: Gravity measurements and the Standards Laboratory.. In: U.S. National Bureau of Standards. Technical note, 491. Superintendent of Documents, United States Government Printing Office, Washington, 1969. Online-Version HathiTrust Digital Library
• Christoph Reigber, Peter Schwintzer: Das Schwerefeld der Erde. In: Physik in unserer Zeit. 34 (5), 2003, S. 206–212, ISSN 0031-9252