Übergang zur Geometrischen Optik

Die Wellengleichung ist äquivalent zur Helmholtzgleichung, da beide über die Fouriertransformation in der Zeit ${\displaystyle t}$ bzw. Frequenz ${\displaystyle \omega }$ zusammenhängen:

${\displaystyle \left(\Delta +{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right){\hat {u}}({\vec {r}},\omega )=0}$.

Dabei ist ${\displaystyle {\hat {u}}({\vec {r}},\omega )}$ die Fouriertransformierte von ${\displaystyle u({\vec {r}},t)}$. Führt man die Wellenzahl ${\displaystyle k=\omega /c}$ ein, so ergibt sich die Helmholtzgleichung

${\displaystyle \left(\Delta +k^{2}\right){\hat {u}}({\vec {r}},k)=0}$.

Eine Lösung dieser Gleichung ergibt sich aus dem Ansatz

${\displaystyle u({\vec {r}},k)=a({\vec {r}})e^{ikS({\vec {r}})},}$

unter der Näherung, dass die Amplitude ${\displaystyle a({\vec {r}})}$ nur langsam veränderlich ist, d. h., über eine Strecke in der Größenordnung der Wellenlänge ${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}}$ als konstant betrachtet werden kann.

Die Flächen ${\displaystyle kS({\vec {r}})=\mathrm {const} }$ bestimmen die Flächen gleicher Phase (= Wellenfronten). Für ${\displaystyle S({\vec {r}})=x}$ würde sich z. B. eine ebene Welle ergeben. Das Gradientenfeld ${\displaystyle \nabla S({\vec {r}})}$ gibt die Ausbreitungsrichtung der einzelnen Punkte der Wellenfront an. Im Beispiel der ebenen Welle ist das Gradientenfeld ${\displaystyle \nabla x=(1,0,0)^{T}}$ und die Wellenfronten breiten sich in x-Richtung aus. In der Nähe eines Punktes ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ kann jede, durch obige Lösung beschriebene Welle, als ebene Welle mit Wellenzahl ${\displaystyle k_{0}=k/n({\vec {r}}_{0})}$ (Brechungsindex ${\displaystyle n({\vec {r}}_{0})}$ an dieser Stelle) und Ausbreitungsrichtung ${\displaystyle {\hat {\vec {k}}}\propto \nabla S({\vec {r}})|_{{\vec {r}}_{0}}}$ aufgefasst werden. ${\displaystyle S({\vec {r}})}$ heißt Eikonal und ist eine wichtige Funktion in der geometrischen Optik, denn sie bestimmt die lokalen Wellenvektoren der Welle (Ausbreitungsrichtung mal Wellenzahl). Die Strahlengänge in der geometrischen Optik sind mit den lokalen Wellenvektoren identisch.^[1] Unter der angegebenen Näherung kann durch Einsetzen des Ansatzes in die Helmholtzgleichung die Eikonalgleichung gewonnen werden:

${\displaystyle (\nabla S({\vec {r}}))^{2}=n^{2}({\vec {r}})}$.

Diese Gleichung besagt, dass der Brechungsindex ${\displaystyle n}$ die Phase der Welle bestimmt und bildet die formale Grundlage der geometrischen Optik:

• Die Näherung, dass die Amplitude der Welle in der Größenordnung der Wellenlänge nicht stark variiert, entspricht der üblichen Aussage, dass die geometrische Optik gültig ist, solange die streuenden Objekte sehr viel größer als die Wellenlänge des Lichts sind.
• Der lokale Brechungsindex bestimmt das Gradientenfeld der Phase und damit die lokale Ausbreitungsrichtung und Wellenzahl der Welle.

Paraxiale Strahlen

Ein großes Anwendungsgebiet der Wellenoptik befasst sich mit Lasern. Laserlicht ist einerseits nahezu monochromatisch und andererseits so stark gebündelt, dass der Lichtstrahl für große Strecken achsennah bleibt (= nicht divergiert). Solche Wellen sind Lösungen der Helmholtzgleichung unter der paraxialen Näherung. Diese besagt, dass sich die Amplitude ${\displaystyle a({\vec {r}})}$ in Ausbreitungsrichtung ${\displaystyle z}$ nicht stark ändern darf. Mathematisch bedeutet dies, dass die 2. Ableitung der Amplitude nach ${\displaystyle z}$ vernachlässigt werden darf: ${\displaystyle \partial _{z}^{2}a({\vec {r}})\approx 0}$.

Eine wichtige Lösung, die sich unter dieser Näherung ergibt ist die Gauß-Lösung. Im nebenstehenden Bild ist die gaußverteilte Intensitätsverteilung von Licht eines Laserpointers zu sehen.

Farbe und Intensität

Die Farbe des Lichtes entspricht seiner Wellenlänge. Monochromatisches Licht hat nur eine Wellenlänge, während Weißlicht eine Überlagerung vieler Wellen unterschiedlicher Wellenlängen darstellt. Eigentlich ist die Frequenz der Lichtwelle ausschlaggebend für die Farbe; die Wellenlänge ist abhängig von der Ausbreitungsgeschwindigkeit und somit vom Medium in dem sich das Licht ausbreitet. In den gebräuchlichen Aussagen über die Farbe von Licht im Zusammenhang mit seiner Wellenlänge wird die Ausbreitung im Vakuum vorausgesetzt. In Luft ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit nur geringfügig kleiner als die Vakuumlichtgeschwindigkeit, sodass auch die Wellenlänge einer bestimmten Frequenz in Luft nur gering von der im Vakuum abweicht. Die Intensität des Lichtes ist proportional zum Quadrat der Amplitude dieser Welle, gemittelt über die Zeit.

Kohärenz und Interferenz

Neben der Amplitude kann man auch die Phase der Welle betrachten. Stehen mehrere Wellen in einer konstanten Phasenbeziehung, so spricht man von Kohärenz. Kohärente Wellen haben die Eigenschaft, dass sie miteinander interferieren können. Unterschiedliche Wellen überlagern sich dabei so, dass es zur Verstärkung (Wellenberg trifft auf Wellenberg – konstruktive Interferenz) oder Abschwächung (Wellenberg trifft auf Wellental – destruktive Interferenz) kommt.

Polarisation

Eine Transversalwelle schwingt zwar stets senkrecht zur Richtung der Lichtausbreitung, hat jedoch noch immer zwei Freiheitsgrade. Findet die Schwingung nur in einer Ebene statt oder ändert sie sich regelmäßig, so spricht man von polarisiertem Licht. Die Polarisation kann nur durch die vektorielle Darstellung als elektromagnetische Welle erklärt werden.

Wellenfronten

Statt Lichtstrahlen betrachtet man in der Wellenoptik das verallgemeinerte Konzept der Wellenfront. Eine Wellenfront ist eine Fläche, die Punkte gleicher Phase verschiedener Wellen in sich vereinigt. Lichtstrahlen stehen stets senkrecht auf der Wellenfront.