Symmetrie der Binomialkoeffizienten

Ganzzahlige Binomialkoeffizienten sind symmetrisch im Sinne von

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}}$

für alle nichtnegativen ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle k}$.

Beweis

${\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {n}{n-k}}&={\frac {n!}{(n-k)!\cdot (n-(n-k))!}}\\&={\frac {n!}{(n-k)!\cdot k!}}\\&={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}\\&={\binom {n}{k}}\end{aligned}}}$

Beispiel

${\displaystyle {\binom {5}{3}}={\binom {5}{5-3}}={\binom {5}{2}}}$

${\displaystyle {\binom {5}{3}}={\frac {5!}{3!\cdot (5-3)!}}={\frac {5!}{3!\cdot 2!}}={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{(1\cdot 2\cdot 3)\cdot (1\cdot 2)}}={\frac {4\cdot 5}{1\cdot 2}}=10}$

${\displaystyle {\binom {5}{2}}={\frac {5!}{2!\cdot (5-2)!}}={\frac {5!}{2!\cdot 3!}}={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{(1\cdot 2)\cdot (1\cdot 2\cdot 3)}}={\frac {4\cdot 5}{1\cdot 2}}=10}$

Veranschaulichung mit Mengen

Vergleiche auch: Kombination (Kombinatorik) → Mengendarstellung

Eine andere Interpretation von Kombinationen ohne Wiederholung von k aus n Elementen ist die Anzahl aller ${\displaystyle k}$-elementigen Teilmengen einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge.

Sie kann anschaulich etwa so gedeutet werden:

Beispiel

Für die Anzahl der möglichen Ziehungen oder Tippscheine beim deutschen Lotto 6 aus 49 (ohne Zusatzzahl oder Superzahl) gilt:

${\displaystyle {\tbinom {49}{6}}=13.983.816\approx 14\ {\text{Millionen}}}$

Es gibt hier offensichtlich genau eine Möglichkeit, 6 Richtige zu tippen. ${\displaystyle {\tbinom {43}{6}}}$ zählt die Möglichkeiten für 0 Richtige, nämlich alle 6 Tipps aus den 43 Falschen zu wählen. Die Anzahl verschiedener Tipps mit 5 Richtigen ergibt sich zu ${\displaystyle 6\cdot 43=258}$, denn es gibt 6 Möglichkeiten, nur 5 der 6 gezogenen Zahlen zu tippen (oder eine davon auszulassen), und dann jeweils ${\displaystyle 43=49-6}$ Möglichkeiten, den ausgelassenen Tipp auf eine der 43 falschen Zahlen zu setzen. Allgemein ergibt sich die Anzahl der verschiedenen Tipps mit ${\displaystyle r}$ Richtigen bei 6 aus 49 mit derselben Überlegung zu ${\displaystyle {\tbinom {6}{r}}\cdot {\tbinom {43}{6-r}}}$. Bei 6, 0 und 5 Richtigen fällt kaum auf, dass die verwendeten Faktoren ${\displaystyle 1={\tbinom {6}{6}}={\tbinom {6}{0}}={\tbinom {43}{0}}}$, ${\displaystyle 6={\tbinom {6}{5}}}$ und ${\displaystyle 43={\tbinom {43}{1}}}$ eigentlich einfache Binomialkoeffizienten sind. Die Summe aller genannten Tippzahlen ergibt die Gesamtzahl 13983816 aller möglichen Tipps – das folgt aus der unten angegebenen Vandermondeschen Identität.

Die Wahrscheinlichkeit für 6 mit einem Tipp erzielte Richtige ist also ${\displaystyle 1/13983816}$, die für 5 Richtige ist ${\displaystyle 258/13983816}$. Für 0 Richtige ergeben sich mit ${\displaystyle 6096454/13983816}$ schon etwa 44 %. Die allgemeine Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle {\tbinom {6}{r}}\cdot {\tbinom {43}{6-r}}/{\tbinom {49}{6}}}$ für ${\displaystyle r}$ Richtige ist ein Spezialfall der hypergeometrischen Verteilung, die gerade drei Binomialkoeffizienten derart kombiniert.

Weitere Beispiele siehe unter: Kombination (Kombinatorik) → Beispiele

Kombinatorische Beweise

Die kombinatorische Deutung erlaubt auch einfache Beweise von Relationen zwischen Binomialkoeffizienten, etwa durch doppeltes Abzählen. Beispiel: Für ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ gilt:

${\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}$

Beweis: Es sei ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle n}$-elementige Menge und ${\displaystyle x\in X}$ ein festes Element. Dann zerfallen die ${\displaystyle k}$-elementigen Teilmengen von ${\displaystyle X}$ in zwei Klassen:

• die Teilmengen, die ${\displaystyle x}$ enthalten; sie bestehen also aus ${\displaystyle x}$ zusammen mit einer ${\displaystyle (k-1)}$-elementigen Teilmenge der ${\displaystyle (n-1)}$-elementigen Menge ${\displaystyle X\setminus \{x\}}$,
• die Teilmengen, die ${\displaystyle x}$ nicht enthalten; sie sind ${\displaystyle k}$-elementige Teilmengen der ${\displaystyle (n-1)}$-elementigen Menge ${\displaystyle X\setminus \{x\}}$.

Kombinationsmengen

Die Menge aller ${\displaystyle k}$-elementigen Teilmengen einer Menge ${\displaystyle M}$ wird wegen ihrer Mächtigkeit ${\displaystyle {\tbinom {\left|M\right|}{k}}}$ gelegentlich auch mit ${\displaystyle {\tbinom {M}{k}}}$ bezeichnet. Damit gilt für jede endliche Menge ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle \left|{M \choose k}\right|={\left|M\right| \choose k}}$

Summen mit Binomialkoeffizienten

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+\dotsb +{\binom {n}{n}}=2^{n}}$

Dieser Formel liegt ein kombinatorischer Sachverhalt zu Grunde. Da ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ die Anzahl aller ${\displaystyle k}$-elementigen Teilmengen einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge ist, ergibt sich durch die Summation die Anzahl aller ihrer Teilmengen, also ${\displaystyle 2^{n}}$. Die Formel lässt sich auch aus dem binomischen Lehrsatz herleiten, indem man ${\displaystyle x=y=1}$ setzt.

Summen mit alternierenden Binomialkoeffizienten

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}={\binom {n}{0}}-{\binom {n}{1}}+{\binom {n}{2}}\mp \dotsb +(-1)^{n}{\binom {n}{n}}=0}$ für ${\displaystyle n>0}$.

Diese Formel folgt für ungerade ${\displaystyle n}$ aus der Symmetrie des Binomialkoeffizienten. Für beliebige ${\displaystyle n}$ lässt sie sich aus dem binomischen Lehrsatz herleiten, indem ${\displaystyle x=1}$ und ${\displaystyle y=-1}$ (oder ${\displaystyle x=-1}$ und ${\displaystyle y=1}$) gesetzt wird.

Summen von Binomialkoeffizienten mit geraden bzw. ungeraden Anzahlen ausgewählter Objekte

Durch Subtraktion bzw. Addition obiger Gleichungen ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}}$ und ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}=0}$ und anschließende Halbierung ist für ${\displaystyle n>0}$ zu erhalten:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{[{\frac {n}{2}}]}{\binom {n}{2k}}=2^{n-1}}$ wie auch ${\displaystyle \sum _{k=0}^{[{\frac {n-1}{2}}]}{\binom {n}{2k+1}}=2^{n-1}}$;

hierbei sind [] Gaußklammern.

Summe verschobener Binomialkoeffizienten

Ausgehend vom Induktionsanfang ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{m=1}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n}{n}}+{\binom {n+1}{n}}={\binom {n+1}{n+1}}+{\binom {n+1}{n}}={\binom {n+1+1}{n+1}}}$ für beliebiges ${\displaystyle n}$, der die Rekursionsvorschrift für Binomialkoeffizienten nutzt, ist mit Induktion nach ${\displaystyle m}$ unter erneuter Nutzung der Rekursionsvorschrift leicht zu beweisen:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n}{n}}+{\binom {n+1}{n}}+\dotsb +{\binom {n+m}{n}}={\binom {n+m+1}{n+1}}}$;

wegen Symmetrie der Summanden wie auch der Summe gilt ebenso:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{k}}={\binom {n}{0}}+{\binom {n+1}{1}}+\dotsb +{\binom {n+m}{m}}={\binom {n+m+1}{m}}={\binom {n+m+1}{n+1}}}$.

Vandermondesche Identität

${\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {m}{j}}{\binom {n}{k-j}}={\binom {m+n}{k}}.}$

Es gibt auch hier ein kombinatorisches Argument: Die rechte Seite entspricht der Anzahl von ${\displaystyle k}$-elementigen Teilmengen einer ${\displaystyle (m+n)}$-elementigen Menge von Kugeln. Man kann sich nun vorstellen, dass die Kugeln zwei verschiedene Farben haben: ${\displaystyle m}$ Kugeln seien rot und ${\displaystyle n}$ Kugeln grün. Eine ${\displaystyle k}$-elementige Teilmenge besteht dann aus einer gewissen Anzahl ${\displaystyle j}$ von roten Kugeln und ${\displaystyle k-j}$ vielen grünen. Für jedes mögliche ${\displaystyle j}$ gibt der entsprechende Summand auf der linken Seite die Anzahl der Möglichkeiten für solch eine Aufteilung in rote und grüne Kugeln an. Die Summe liefert die Gesamtzahl. Ein oft als einfacher empfundener Beweis verwendet den Binomischen Lehrsatz in der Form

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k},}$

sowie den Ansatz

${\displaystyle (1+x)^{m}(1+x)^{n}=(1+x)^{m+n}}$

und Koeffizientenvergleich.

Im Spezialfall ${\displaystyle k=m=n}$ ergibt sich aus der Vandermondeschen Identität folgende Formel für die Quadratsummen:

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}^{2}={\binom {2n}{n}}}$

Hockey-Stick-Identität

Für ${\displaystyle n,r\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle n\geq r}$ gilt ${\displaystyle \sum \limits _{i=r}^{n}{\begin{pmatrix}i\\r\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}n+1\\r+1\end{pmatrix}}}$. Der Name Hockey-Stick-Identität (Hockeyschläger-Identität) rührt von der graphischen Darstellung der Identität auf dem Pascalschen Dreieck her: Wenn die einzelnen Summanden und der Wert der Summe selbst farblich hervorgehoben werden, erinnert die Form an einen Hockeyschläger.

Divisionsreste

Ist ${\displaystyle p}$ eine Primzahl, ${\displaystyle n_{0},k_{0}\in \{0,\dotsc ,p-1\}}$ und ${\displaystyle n_{1},k_{1}\in \mathbb {N} }$, dann ist

${\displaystyle {\binom {n_{0}+pn_{1}}{k_{0}+pk_{1}}}\equiv {\binom {n_{0}}{k_{0}}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}{\pmod {p}}.}$

Das heißt, modulo ${\displaystyle p}$ kann ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ mit Hilfe der Darstellungen von ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle k}$ zur Basis ${\displaystyle p}$ effizient berechnet werden, nämlich „ziffernweise“.

Verallgemeinerung

Eine Verallgemeinerung, die in der Analysis eine Rolle spielt, erhält man, wenn man für ${\displaystyle n}$ eine beliebige komplexe Zahl ${\displaystyle \alpha }$ zulässt, aber ${\displaystyle k}$ weiterhin als ganzzahlig voraussetzt. In diesem Fall ist

${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\begin{cases}{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\dotsm (\alpha -(k-1))}{k!}},&{\text{wenn }}\quad k>0\\1,&{\text{wenn }}\quad k=0\\0,&{\text{wenn }}\quad k<0\end{cases}}}$

der Binomialkoeffizient „ ${\displaystyle \alpha }$ über ${\displaystyle k}$“ (das leere Produkt im Fall ${\displaystyle k=0}$ ist definiert als 1). Diese Definition stimmt für nichtnegative ganzzahlige ${\displaystyle \alpha }$ mit der kombinatorischen Definition (also der Definition von ${\displaystyle {\tbinom {\alpha }{k}}}$ als die Anzahl aller ${\displaystyle k}$-elementigen Teilmengen einer festen ${\displaystyle \alpha }$-elementigen Menge) überein, und für nichtnegative ${\displaystyle k}$ mit der algebraischen Definition (also der Definition von ${\displaystyle {\tbinom {\alpha }{k}}}$ als das Produkt ${\displaystyle {\tfrac {\alpha }{1}}\cdot {\tfrac {\alpha -1}{2}}\dotsm {\tfrac {\alpha -(k-1)}{k}}}$).

Beispielsweise ist

${\displaystyle {2{,}5 \choose 2}={\frac {2{,}5\cdot 1{,}5}{2!}}={\frac {3{,}75}{2}}=1{,}875}$

und

${\displaystyle {-1 \choose k}={\frac {(-1)(-2)\dotsm (-k)}{k!}}=(-1)^{k}.}$

Auch der zweite Parameter ${\displaystyle k}$ lässt sich auf beliebige komplexe Belegung ${\displaystyle z}$ verallgemeinern, wenn mit Hilfe der Betafunktion ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}$ für ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} \setminus \{-1,-2,-3,\dotsc \}}$ definiert wird:

${\displaystyle {\binom {\alpha }{z}}={\frac {1}{(\alpha +1)\,\mathrm {B} (z+1,\alpha -z+1)}}={\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\Gamma (z+1)\,\Gamma (\alpha -z+1)}},}$

wobei ${\displaystyle \Gamma (z)}$ die Gammafunktion bezeichnet. Ist dabei ${\displaystyle z}$ oder ${\displaystyle \alpha -z}$ eine negative ganze Zahl, so ist der Wert der rechten Seite 0, weil die nichtpositiven ganzen Zahlen die (einzigen) Polstellen von ${\displaystyle \Gamma (z)}$ sind.

Ersichtlich gilt weiterhin die Symmetriebeziehung

${\displaystyle {\binom {\alpha }{z}}={\binom {\alpha }{\alpha -z}}}$,

insbesondere

${\displaystyle {\binom {\alpha }{1}}={\binom {\alpha }{\alpha -1}}=\alpha }$,

${\displaystyle {\binom {\alpha }{0}}={\binom {\alpha }{\alpha }}=1}$

und bei nichtnegativem ganzen ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\binom {\alpha }{-m}}={\binom {\alpha }{\alpha +m}}=0}$.

Um das Vorzeichen aus dem ersten Parameter zu extrahieren, sofern er ganzzahlig ist, lässt sich die Relation

${\displaystyle {\binom {-\alpha }{k}}=(-1)^{k}{\binom {\alpha +k-1}{k}}}$

angeben.

Allgemein gilt für komplexe ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle z}$ die Beziehung

${\displaystyle {\binom {-\alpha }{z}}=\left(\cos(\pi z)+\sin(\pi z)\cot(\pi \alpha )\right){\binom {\alpha +z-1}{z}}}$.

Eine weitere Verallgemeinerung bieten die Multinomialkoeffizienten, die bei der Verallgemeinerung des binomischen auf den multinomialen Lehrsatz benötigt werden.

Binomische Reihen

Für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ und ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \{1\}}$ mit ${\displaystyle |z|\geq 1}$ erhält man die Beziehung

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {k}{n}}{\frac {1}{z^{k+1}}}=\sum _{k=n}^{\infty }{\binom {k}{n}}{\frac {1}{z^{k+1}}}={\frac {1}{(z-1)^{n+1}}},}$

die eine Verallgemeinerung der geometrischen Reihe darstellt und zu den binomischen Reihen gehört.

Ist ${\displaystyle |z|\leq 1}$, ${\displaystyle z\neq -1}$ sowie ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$, konvergiert die folgende Reihe gemäß

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}z^{k}=(1+z)^{\alpha }.}$

Exaktere Bedingungen für ${\displaystyle z}$ und ${\displaystyle \alpha }$ sind im Artikel Binomische Reihe angegeben.

Summenausdruck für die Betafunktion

Eine weitere Beziehung kann man für alle ${\displaystyle m,n\geq 0}$ relativ einfach mit vollständiger Induktion beweisen,

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{m+k+1}}={\dfrac {1}{(m+n+1)\displaystyle {\binom {m+n}{m}}}},}$

woraus unmittelbar die Symmetrie

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{m+k+1}}=\sum \limits _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{n+k+1}}}$

folgt. Eine Verallgemeinerung für ${\displaystyle z,s\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle -z,-s\notin \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle s+z\neq -1}$ lautet

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\binom {s}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{z+k+1}}={\dfrac {1}{(z+s+1)\displaystyle {\binom {z+s}{s}}}}=\mathrm {B} (z+1,s+1).}$

Gaußsche Produktdarstellung für die Gammafunktion

Mit der letzten Formel aus dem vorherigen Abschnitt ist für ${\displaystyle -z\notin \{0,1,2,\dotsc ,n\}}$

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{z+k}}={\frac {n!}{z\,(z+1)\,(z+2)\dotsm (z+n)}}.}$

Betrachtet man den Fall ${\displaystyle \operatorname {Re} z>0}$, ersetzt die Brüche in der Summe durch Integrale gemäß

${\displaystyle {\frac {1}{z+k}}=\int \limits _{0}^{1}t^{z+k-1}\mathrm {d} t}$

und fasst die Summe der Potenzen den binomischen Formeln entsprechend zusammen, erhält man

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{z+k}}=\int \limits _{0}^{1}t^{z-1}(1-t)^{n}\mathrm {d} t=n^{-z}\int \limits _{0}^{n}t^{z-1}\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n}\mathrm {d} t,}$

wobei beim letzten Integral die Substitution ${\displaystyle t\to t/n}$ angewendet wurde. Schließlich hat man die Gleichung

${\displaystyle \int \limits _{0}^{n}t^{z-1}\left(1-{\frac {t}{n}}\right)^{n}\mathrm {d} t={\frac {n^{z}\,n!}{z\,(z+1)\,(z+2)\dotsm (z+n)}},}$

woraus sich durch den Grenzübergang ${\displaystyle n\to \infty }$ direkt die Gaußsche Produktdarstellung der Gammafunktion,

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {n^{z}\,n!}{z\,(z+1)\,(z+2)\dotsm (z+n)}},}$

ergibt.^[1]

Digammafunktion und Euler-Mascheroni-Konstante

Für ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle m\leq n}$ gilt

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{m}{\binom {n}{m-k}}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}={\binom {n}{m}}\sum \limits _{k=n-m+1}^{n}{\frac {1}{k}},}$

was sich ebenfalls über Induktion nach ${\displaystyle m}$ beweisen lässt. Für den Spezialfall ${\displaystyle n=m}$ vereinfacht sich diese Gleichung zu

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}=\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}=\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=H_{n},}$

wobei ${\displaystyle H_{n}}$ die Folge der Harmonischen Zahlen, also der Partialsummen der Harmonischen Reihe ist. Die Umwandlung der linken Summe in eine Reihe (Limit ${\displaystyle \infty }$ statt ${\displaystyle n}$) ist dabei erlaubt wegen ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}=0}$ für ${\displaystyle n<k.}$

${\displaystyle H_{n}}$ ist andererseits darstellbar als

${\displaystyle H_{n}=\psi (n+1)-\psi (1)=\psi (n+1)+\gamma }$

mit der Digammafunktion ${\displaystyle \psi (n)}$ und der Euler-Mascheroni-Konstanten ${\displaystyle \gamma .}$

${\displaystyle \psi (n)}$ kann auf komplexe Werte ${\displaystyle z}$ – außer auf negative ganze Zahlen – fortgesetzt werden. Man bekommt so die Reihe

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\binom {z}{k}}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}=\psi (z+1)+\gamma }$

als komplexe Interpolation der Folge der Harmonischen Zahlen.