Coulombsches Gesetz

Vektorform

Die allgemeine vektorielle Notation diskreter Ladungen in beliebiger Materie ( ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}}$ ) liefert das Coulomb-Kraftfeld, dem eine Probeladung ${\displaystyle q_{1}}$ im Feld einer zweiten Ladung ${\displaystyle q_{2}}$ ausgesetzt ist, wie folgt:

${\displaystyle {\vec {F}}_{12}({\vec {r}}_{1})=q_{1}{\frac {q_{2}}{4\pi \varepsilon \cdot |{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|^{2}}}\ {({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}) \over |{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|}}$

(sprich: Die Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{12}}$ auf die Probeladung ${\displaystyle q_{1}}$ , hervorgerufen von der Ladung ${\displaystyle q_{2}}$ ; und: der Vektor ${\displaystyle {\vec {r}}_{21}}$ vom Punkt der Ladung ${\displaystyle q_{2}}$ ausgehend zum Punkt der Probeladung ${\displaystyle q_{1}}$ )

Hierbei sind ${\displaystyle {\hat {\vec {r}}}_{21}}$ der Einheitsvektor, der von ${\displaystyle q_{2}}$ (entlang der Verbindungslinie beider Ladungsmittelpunkte) in Richtung ${\displaystyle q_{1}}$ zeigt; sowie ${\displaystyle {\vec {r}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\vec {r}}_{2}}$ die Ortsvektoren der beiden Ladungsmittelpunkte. Wie zu sehen, müssen sich gleichnamige Ladungen, d.h. solche gleichen Vorzeichens dabei obiger Festlegung gemäß abstoßen, da die Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{12}}$ in solchem Fall dieselbe Orientierung wie ${\displaystyle {\hat {\vec {r}}}_{21}}$ besitzt, während sich Ladungen mit ungleichem Vorzeichen (ungleichnamige Ladungen) anziehen, da die Kraft ${\displaystyle {\vec {F}}_{12}}$ dann (analog zum newtonschen Gravitationsgesetz) die entgegengesetzte Orientierung von ${\displaystyle {\hat {\vec {r}}}_{21}}$ besitzt.

Wird der Koordinatenursprung an die Position der Ladung ${\displaystyle q_{2}}$ gelegt, vereinfacht sich die obige Gleichung zu:

${\displaystyle {\vec {F}}_{12}({\vec {r_{1}}})=q_{1}\,{\frac {q_{2}}{4\pi \varepsilon \cdot |{\vec {r}}_{1}|^{3}}}\ {\vec {r}}_{1}}$ .

Weiter ist dann

${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {q_{2}}{4\pi \varepsilon \,r^{3}}}\ {\vec {r}}}$

der Vektor der Feldstärke des von der Zentralladung ${\displaystyle q_{2}}$ erzeugten elektrischen Feldes an der Stelle ${\displaystyle {\vec {r}}}$ , d.h. im Abstand ${\displaystyle \ r}$ vom Ursprung.

Wird die das Feld erzeugende Zentralladung ${\displaystyle q_{2}}$ durch eine im Raum verteilte Ladungswolke mit der Ladungsverteilung ${\displaystyle \rho (r')}$ ersetzt, tritt an die Stelle der eingangs gegebenen Formel für die Coulomb-Kraft auf die Probeladung ${\displaystyle q_{1}}$ das Integral

${\displaystyle {\vec {F}}_{12}({\vec {r}})=q_{1}\,{\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\,\int \rho (r')\cdot {\frac {({\vec {r}}-{\vec {r'}})}{|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|^{3}}}\ d{\vec {r'}}\;}$ .

Das coulombsche Gesetz in der eingangs gegebenen Form ist dabei als Spezialfall für eine punktförmige Ladungsverteilung in dieser Formel enthalten. Umgekehrt kann mittels Superpositionsprinzip auch diese allgemeinere Form aus dem coulombschen Gesetz abgeleitet werden.

Der in den obigen Gleichungen auftretende Term

${\displaystyle k_{\mathrm {C} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}}$

wird auch als Coulomb-Konstante bezeichnet.

Im Vakuum ( ${\displaystyle \varepsilon _{r}=1}$ ) gilt:

${\displaystyle k_{\mathrm {C} }={\frac {1}{4\pi }}\mu _{0}\,c^{2}\approx 8{,}987551787\cdot 10^{9}\,\mathrm {\frac {Vm}{As}} }$

Dabei ist ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit.

Im gaußschen und elektrostatischen CGS-Einheitensystem wird das coulombsche Gesetz zur Definition der elektrischen Ladung benutzt. Eine Ladungseinheit wirkt auf eine zweite im Abstand 1 cm mit der Kraft 1 dyn. Die elektrische Basiseinheit der Einheitensysteme SI, CGS-ESU und CGS-EMU unterscheidet sich prinzipiell nur durch die Festlegung von ${\displaystyle \mu _{0}}$ :

• Im CGS-ESU ist ${\displaystyle \mu _{0}=4\pi /c^{2}}$ . Daher hat die Coulomb-Konstante in diesem Einheitensystem den Wert ${\displaystyle k_{\mathrm {C} }=1}$ .
• Im CGS-EMU ist ${\displaystyle \mu _{0}=4\pi }$ . Daher hat in diesem Einheitensystem die Coulomb-Konstante den Wert ${\displaystyle k_{\mathrm {C} }=c^{2}}$ .