Dichtebestimmung durch Auftrieb

Nach dem Prinzip von Archimedes erfährt ein vollständig in einem Fluid (einer Flüssigkeit oder einem Gas) eingetauchter Körper eine Auftriebskraft, die gleich der Gewichtskraft des Volumens des verdrängten Stoffes ist. Um die zwei Unbekannten Dichte und Volumen zu bestimmen, sind zwei Messungen erforderlich.

Taucht man einen beliebigen Körper mit dem Volumen ${\displaystyle V_{\mathrm {K} }}$ vollständig in zwei Fluide mit bekannten Dichten ${\displaystyle \rho _{1}}$ und ${\displaystyle \rho _{2}}$ ein, ergeben sich resultierende Kräfte ${\displaystyle F_{1}}$ und ${\displaystyle F_{2}}$, die mittels einer einfachen Waage messbar sind. Die gesuchte Dichte ${\displaystyle \rho _{\mathrm {K} }}$ des Körpers lässt sich daraus wie folgt bestimmen:

Ausgehend von den Formeln für die Gewichtskraft ${\displaystyle F_{\mathrm {G} }}$ des Körpers und die Auftriebskraft ${\displaystyle F_{\mathrm {A} i}}$ des Körpers in Fluid ${\displaystyle i}$

${\displaystyle F_{\mathrm {G} }=V_{\mathrm {K} }\cdot \rho _{\mathrm {K} }\cdot g}$

${\displaystyle F_{\mathrm {A} i}=V_{\mathrm {K} }\cdot \rho _{i}\cdot g}$

mit der Schwerebeschleunigung ${\displaystyle g}$ misst eine Waage für den in Fluid ${\displaystyle i}$ eingetauchten Körper die Kraft

${\displaystyle F_{i}=F_{\mathrm {G} }-F_{\mathrm {A} i}.}$

Aus diesen zwei Gleichungen für die Fluide ( ${\displaystyle i=1,2}$) kann man das unbekannte Volumen ${\displaystyle V_{\mathrm {K} }}$ eliminieren und erhält die Lösung:

${\displaystyle \rho _{\mathrm {K} }={\frac {F_{1}\cdot \rho _{2}-F_{2}\cdot \rho _{1}}{F_{1}-F_{2}}}}$

Falls eine Dichte sehr viel kleiner als die andere ist, ${\displaystyle \rho _{1}\ll \rho _{2}}$ (etwa bei Luft und Wasser), vereinfacht sich die Formel zu:

${\displaystyle \rho _{\mathrm {K} }={\frac {F_{1}}{F_{1}-F_{2}}}\cdot \rho _{2}}$

Falls man nur eine Flüssigkeit, z. B. Wasser mit Dichte ${\displaystyle \rho _{1}}$ hat, lässt sich stattdessen das Volumen des Körpers durch das Volumen des Wassers bestimmen, das bei vollständigem Eintauchen verdrängt wird, indem man beispielsweise den Überlauf aus einem vollen Gefäß mit einem Messzylinder misst. Aus obiger Gleichung

${\displaystyle F_{1}=F_{\mathrm {G} }-F_{\mathrm {A} 1}=V_{\mathrm {K} }\cdot g\cdot (\rho _{\mathrm {K} }-\rho _{1})}$

erhält man durch Umformen:

${\displaystyle \rho _{\mathrm {K} }=\rho _{1}+{\frac {F_{1}}{V_{\mathrm {K} }\cdot g}}}$

Nach dieser Methode bestimmte schon Archimedes die Dichte der Krone eines Königs, der bezweifelte, dass diese wirklich aus reinem Gold bestehe (ρ_K = 19320 kg/m³).

Auf dieser Auftriebswägung von Flüssigkeiten beruhen das Aräometer (Spindel) und die Mohrsche Waage.

Weitere Methoden

• Pyknometer, Dichtebestimmung von Festkörpern oder Flüssigkeiten durch Messen der verdrängten Flüssigkeitsvolumina
• Isotopenmethode, Dichtebestimmung durch Strahlungsabsorption
• Biegeschwinger, Dichtebestimmung, insbesondere von durchströmender Flüssigkeit, durch Schwingungsmessung
• Resistograph, Dichtebestimmung von Holz über Festigkeit.
• Schwebemethode, Dichtebestimmung durch Gleichgewichtsbestimmung mit Hilfe einer Schwerflüssigkeit

Eine einfache Abschätzung der Dichte lässt sich mit der Girolami-Methode erhalten.