Grundidee

Eine Funktion ${\displaystyle f}$ ordnet jedem Element ${\displaystyle x}$ einer Definitionsmenge ${\displaystyle D}$ genau ein Element ${\displaystyle y}$ einer Zielmenge ${\displaystyle Z}$ zu.

Schreibweise:

${\displaystyle f\colon \,D\to Z,\;x\mapsto y}$,   oder auch äquivalent:   ${\displaystyle f\colon \,{\begin{cases}D\to Z\\x\mapsto y\end{cases}}}$

Für das dem Element ${\displaystyle x\in D}$ zugeordnete Element der Zielmenge schreibt man im Allgemeinen ${\displaystyle f(x)}$.

Anmerkungen:

• Die Umkehrung gilt nicht: Ein Element der Zielmenge kann genau einem, mehreren, aber auch keinem Element der Definitionsmenge zugeordnet sein, in letzterem Fall gehört es nicht zur Bildmenge.^[8]
  Beispiel: Die Betragsfunktion ${\displaystyle f(x)=|x|}$ ordnet den Zahlen +1 und −1 der Definitionsmenge die Zahl +1 der Zielmenge zu. Der Zahl +1 der Zielmenge sind also zwei Zahlen der Definitionsmenge zugeordnet, der Zahl −1 ist keine Zahl der Definitionsmenge zugeordnet.
• Oft ist an Stelle der Definitionsmenge zunächst eine Quellmenge ${\displaystyle Q}$ gegeben. Wenn ${\displaystyle f}$ als Rechenvorschrift gegeben ist, erhält man die Definitionsmenge ${\displaystyle D_{f}}$, indem man von ${\displaystyle Q}$ diejenigen Elemente ausschließt, für die ${\displaystyle f}$ nicht definiert ist. Siehe auch Abschnitt „Partielle Funktionen“.

Mengentheoretische Definition

Mengentheoretisch ist eine Funktion eine spezielle Relation:

Eine Funktion von der Menge ${\displaystyle D}$ in die Menge ${\displaystyle Z}$ ist eine Menge ${\displaystyle f}$, die die folgenden Eigenschaften hat: ^[9]

• ${\displaystyle f}$ ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts ${\displaystyle D\times Z}$ von ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle Z}$, d. h. ${\displaystyle f}$ ist eine Relation zwischen ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle Z}$.
• Für jedes Element ${\displaystyle x}$ aus ${\displaystyle D}$ existiert mindestens ein Element ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle Z}$, sodass das geordnete Paar ${\displaystyle (x,y)}$ Element der Relation ${\displaystyle f}$ ist. ${\displaystyle f}$ ist also linkstotal.
• Zu jedem Element ${\displaystyle x}$ von ${\displaystyle D}$ gibt es höchstens ein Element ${\displaystyle y}$ von ${\displaystyle Z}$, sodass das Paar ${\displaystyle (x,y)}$ in ${\displaystyle f}$ liegt. ${\displaystyle f}$ ist damit rechtseindeutig oder funktional.

Die letzten beiden Eigenschaften lassen sich auch wie folgt zusammenfassen:

• Zu jedem Element ${\displaystyle x}$ von ${\displaystyle D}$ gibt es genau ein Element ${\displaystyle y}$ von ${\displaystyle Z}$, sodass das Paar ${\displaystyle (x,y)}$ Element der Relation ${\displaystyle f}$ ist.

Oft möchte man aber auch die Zielmenge explizit zu einem Teil der Funktion machen, zum Beispiel um Aussagen zur Surjektivität (als eine Eigenschaft der betrachteten Funktion selbst) anstellen zu können:

Ein Paar ${\displaystyle f=(G,Z)}$, bestehend aus einer Menge ${\displaystyle Z}$ und einer Menge von Paaren ${\displaystyle G\subseteq D\times Z}$ mit einer weiteren Menge ${\displaystyle D}$ heißt Funktion von der Menge ${\displaystyle D}$ nach ${\displaystyle Z}$, wenn gilt: Zu jedem Element ${\displaystyle x}$ von ${\displaystyle D}$ gibt es genau ein Element ${\displaystyle y}$ von ${\displaystyle Z}$ (geschrieben ${\displaystyle f(x)=y}$), sodass das Paar ${\displaystyle (x,y)}$ Element von ${\displaystyle G}$ ist.

${\displaystyle G}$ wird dann auch der Graph der Funktion ${\displaystyle f}$ genannt. Die Definitionsmenge ${\displaystyle D}$ der Funktion ist dabei durch ihren Graphen eindeutig bestimmt und besteht aus den ersten Komponenten aller Elemente des Graphen. Stimmen zwei Funktionen in ihren Graphen überein, so sagt man auch, sie seien im Wesentlichen gleich. Insbesondere ist jede Funktion ${\displaystyle f=(G,Z)}$ im Wesentlichen gleich mit der surjektiven Funktion ${\displaystyle (G,W(f))}$ mit der Bildmenge ${\displaystyle W(f):=\{y\in {Z}|\exists x\in {D}\mid (x,y)\in G\}}$.

Oft empfiehlt es sich, auch noch die Definitionsmenge hinzuzunehmen und eine Funktion entsprechend als ein Tripel ${\displaystyle f=(G,D,Z)}$ zu definieren. Diese Definition stimmt dann überein mit der entsprechenden ausführlichen Definition bei Relationen, sodass auch Multifunktionen und partielle Funktionen auf gleiche Weise erfasst sind.

Schreibweisen

Eine Zuordnung kann unter anderem in einer der folgenden Formen beschrieben werden:

• Funktionsgleichung mit Definitionsmenge

${\displaystyle f(x)=x^{2},\qquad x\in \mathbb {N} }$

• Eindeutige Zuordnungsvorschrift (englisch: maplet) mit Definitionsmenge

${\displaystyle x\mapsto x^{2},\qquad x\in \mathbb {N} }$

• Eindeutige Zuordnungsvorschrift mit Definitions- und Zielmenge

${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,\;x\mapsto x^{2}}$,   oder äquivalent:   ${\displaystyle f\colon \,{\begin{cases}\mathbb {N} \to \mathbb {N} \\x\mapsto x^{2}\end{cases}}}$

• Familienschreibweise (mit der Bezeichnung Indexmenge für die Definitionsmenge)

${\displaystyle (f_{x})_{x\in {\mathbb {N} }}}$ ^[10]

• Wertetabelle (für endliche, aber auch abzählbar unendliche Definitionsmengen)

${\displaystyle x}$	1	2	3	4	5	6	7	…
${\displaystyle y}$	1	4	9	16	25	36	49	…

• Relation insbesondere auch als aufgezählt oder beschrieben dargestellte Teilmenge

${\displaystyle f=\{(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),\ldots \}}$

• Ergebnis von Verknüpfungen und Operationen (zum Beispiel Komposition, Bildung der Umkehrfunktion, Ableitung u. Ä.), die auf andere Funktionen angewendet werden

${\displaystyle f=(g^{\prime }\circ h)^{-1}}$

Sprechweisen

Für die Zuordnung eines Funktionswertes ${\displaystyle y}$ zu einem Argument ${\displaystyle x}$ gibt es eine Reihe verschiedener Sprech- oder ausführlicher Schreibweisen, die alle mehr oder weniger gleichwertig sind und vor allem in Abhängigkeit von dem, was vordergründig ausgedrückt werden soll, vom jeweiligen Kontext, der benutzten Symbolik und auch vom Geschmack des Sprechers (Schreibers) gewählt werden. Hier einige Beispiele:

${\displaystyle x}$ wird abgebildet auf ${\displaystyle f}$ von ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f}$ von ${\displaystyle x}$ wird ${\displaystyle x}$ eindeutig zugeordnet (vornehmlich, wenn das ${\displaystyle \mapsto }$-Symbol in der Symbolik steht)

${\displaystyle y}$ gleich ${\displaystyle f}$ von ${\displaystyle x}$ (vornehmlich, wenn ein Gleichheitszeichen in der Symbolik steht)

${\displaystyle y}$ ist das Bild von ${\displaystyle x}$ unter der Abbildung ${\displaystyle f}$

Davon zu unterscheiden ist die Sprech- und Schreibweise: „ ${\displaystyle y}$ ist eine Funktion von ${\displaystyle x}$“, die vor allem in der Physik sehr nahestehenden Bereichen der Mathematik auftaucht. Sie ist die ältere und ursprüngliche Sprech- und Schreibweise und beschreibt die Abhängigkeit einer Variablen ${\displaystyle y}$ von einer anderen Variablen ${\displaystyle x}$, im Gegensatz dazu, dass mit Hilfe der Variablen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ (stellvertretend) die Zuordnung bestimmter Elemente von Mengen beschrieben wird. Die „physikalische“ Sprechweise stammt von dem Vorgehen, zunächst zwei veränderlichen Größen (der physikalischen Realität) Symbole, nämlich die Variablen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$, zuzuordnen und danach deren Abhängigkeit festzustellen. Steht beispielsweise ${\displaystyle y}$ für die Raumtemperatur und ${\displaystyle x}$ für die Zeit, so wird man feststellen können, dass sich die Raumtemperatur in Abhängigkeit von der Zeit ändert und somit „die Raumtemperatur eine Funktion der Zeit ist“ oder stellvertretend „ ${\displaystyle y}$ eine Funktion von ${\displaystyle x}$ ist.“

Statt Definitionsmenge ${\displaystyle D}$ wird auch Definitionsbereich, Urbildmenge oder schlicht Urbild gesagt. Die Elemente von ${\displaystyle D}$ heißen Funktionsargumente, Funktionsstellen oder Urbilder, salopp auch ${\displaystyle x}$-Werte. Die Zielmenge ${\displaystyle Z}$ wird auch Wertemenge oder Wertebereich genannt, die Elemente von ${\displaystyle Z}$ heißen Zielwerte oder Zielelemente, salopp auch ${\displaystyle y}$-Werte. Diejenigen Elemente von ${\displaystyle Z}$, die tatsächlich auch als Bild eines Arguments auftreten, heißen Funktionswerte, Bildelemente oder schlicht Bilder.

Bild und Urbild

Das Bild eines Elements ${\displaystyle x}$ der Definitionsmenge ist einfach der Funktionswert ${\displaystyle f(x)}$. Das Bild einer Funktion ist die Menge der Bilder aller Elemente der Definitionsmenge ${\displaystyle D}$, also

${\displaystyle f(D)=\{f(x)\mid x\in D\}}$.

Das Bild einer Funktion ist folglich eine Teilmenge der Zielmenge und wird Bildmenge genannt. Ist allgemeiner ${\displaystyle S}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle D}$, dann ist

${\displaystyle f(S)=\{f(x)\mid x\in S\}}$

das Bild von ${\displaystyle S}$ unter der Funktion ${\displaystyle f}$.

Das Urbild eines Elements ${\displaystyle y}$ der Zielmenge ${\displaystyle Z}$ ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild ${\displaystyle y}$ ist. Es ist

${\displaystyle \kappa _{f^{-1}}(y)=f^{-1}(\{y\})=\{x\in D\mid f(x)=y\}}$,

( ${\displaystyle f^{-1}}$ ist im Allgemeinen keine eindeutige Funktion, sondern eine Multifunktion, zu Schreibweise ${\displaystyle \kappa _{f^{-1}}}$ siehe dort, sowie bei Relation #Relationen und Funktionen und Korrespondenz (Mathematik)).

Oft werden diese Fasern einfach mit ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ bezeichnet, was aber im Fall (eindeutig) umkehrbarer Funktionen einerseits x, andererseits {x} bezeichnet.

Das Urbild einer Teilmenge ${\displaystyle T}$ der Zielmenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild Element dieser Teilmenge ist:

${\displaystyle f^{-1}(T)=\{x\in D\mid f(x)\in T\}}$.

Injektivität, Surjektivität, Bijektivität

• Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens ein Urbild hat. D. h., aus ${\displaystyle f(x_{1})=y=f(x_{2})}$ folgt ${\displaystyle x_{1}=x_{2}.}$
• Sie ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild hat. D. h., zu beliebigem ${\displaystyle y}$ gibt es ein ${\displaystyle x}$, sodass ${\displaystyle f(x)=y.}$
• Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, wenn also jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat.

Stelligkeit

Eine Funktion ${\displaystyle f\colon D\to Z}$, deren Definitionsmenge ${\displaystyle D}$ eine Produktmenge ${\displaystyle D=A\times B}$ ist, heißt oft zweistellig. Den Wert von ${\displaystyle f}$, der bei Anwendung von ${\displaystyle f}$ auf das Paar ${\displaystyle (a,b)\in D}$ erhalten wird, schreibt man (unter Weglassung eines Klammernpaares) als ${\displaystyle f(a,b).}$

Analoges gilt für höhere Stelligkeiten. Eine Funktion ${\displaystyle f\colon A\times B\times C\to Z}$ bezeichnet man üblicherweise als dreistellig. Eine Funktion, deren Definitionsmenge keine Produktmenge ist (oder bei der die innere Struktur der Definitionsmenge keine Rolle spielt) bezeichnet man als einstellig. Unter einer nullstelligen Funktion versteht man eine Funktion, deren Definitionsmenge das leere Produkt ${\displaystyle \{()\}=\{\emptyset \}}$ ist, bei einem beliebigen Funktionswert. Daher können nullstellige Funktionen als Konstanten aufgefasst werden, was bei algebraischen Strukturen (wie auch bei heterogenen Algebren) Anwendung findet.

Statt nullstellig, einstellig, zweistellig, dreistellig sagt man auch oft unär, binär, ternär; Stelligkeit wird daher auch als „Arität“ (englisch: arity) bezeichnet.

Menge der Funktionen

Mit ${\displaystyle Z^{D},\ {}^{D}Z,\ [D\to Z]}$^[11] oder ${\displaystyle \operatorname {Abb} (D,Z)}$ wird die Menge aller Abbildungen von ${\displaystyle D}$ nach ${\displaystyle Z}$ bezeichnet:

${\displaystyle Z^{D}:=\{f\mid f\colon D\to Z\}}$

Für die Mächtigkeit gilt:

${\displaystyle |Z^{D}|=|Z|^{|D|}}$

Einschränkung

Die Einschränkung einer Funktion ${\displaystyle f\colon A\to B}$ auf eine Teilmenge ${\displaystyle C}$ der Definitionsmenge ${\displaystyle A}$ ist die Funktion ${\displaystyle f|_{C}\colon C\to B}$, deren Graph durch

${\displaystyle G_{f|_{C}}=G_{f}\cap (C\times B)=\{(x,y)\in G_{f}\mid x\in C\}}$

gegeben ist.

Umkehrfunktion

Zu jeder bijektiven Funktion ${\displaystyle f\colon A\to B}$ gibt es eine Umkehrfunktion

${\displaystyle f^{-1}\colon B\to A,\,y\mapsto f^{-1}(y)}$,

sodass ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ das eindeutig bestimmte Element ${\displaystyle x\in A}$ ist, für das ${\displaystyle f(x)=y}$ gilt. Die Umkehrfunktion erfüllt damit für alle ${\displaystyle x\in A}$

${\displaystyle f^{-1}(f(x))=x}$.

Bijektive Funktionen werden daher auch als eindeutig umkehrbare Funktionen bezeichnet.

Verkettung

Zwei Funktionen ${\displaystyle f\colon A\to B}$ und ${\displaystyle g\colon B\to C}$, bei denen der Wertebereich der ersten Funktion mit dem Definitionsbereich der zweiten Funktion übereinstimmt (oder als Teilmenge enthalten ist), können verkettet werden. Die Verkettung oder Hintereinanderausführung dieser beiden Funktionen ist dann eine neue Funktion, die durch

${\displaystyle g\circ f\colon A\to C,\,x\mapsto (g\circ f)(x)=g(f(x))}$

gegeben ist. In dieser Notation steht meist die zuerst angewandte Abbildung rechts, das heißt, bei ${\displaystyle g\circ f}$ wird zuerst die Funktion ${\displaystyle f}$ angewandt und dann die Funktion ${\displaystyle g}$. Gelegentlich wird in der Literatur allerdings auch die umgekehrte Reihung verwendet und ${\displaystyle (f\circ g)(x)=g(f(x))}$ geschrieben.

Verknüpfung

Ist auf der Zielmenge ${\displaystyle B}$ eine innere zweistellige Verknüpfung ${\displaystyle *\colon B\times B\to B}$ gegeben, so lässt sich auch für Funktionen ${\displaystyle f,g\in B^{A}}$ eine innere zweistellige Verknüpfung definieren:

${\displaystyle f*g\colon A\to B,\,x\mapsto (f*g)(x)=f(x)*g(x)}$.

Beispiele hierfür sind die punktweise Addition und Multiplikation von Funktionen. Weiter lässt sich mit Hilfe einer äußeren zweistelligen Verknüpfung der Form ${\displaystyle *\colon C\times B\to B}$ auch die Verknüpfung einer Funktion mit einem Element aus ${\displaystyle C}$ definieren:

${\displaystyle c*f\colon A\to B,\,x\mapsto (c*f)(x)=c*f(x)}$

Beispiel hierfür ist die punktweise Multiplikation einer Funktion mit einem Skalar. Analog lässt sich so auch eine äußere Verknüpfung der Form ${\displaystyle f*c}$ definieren. Sind Verknüpfungen der gleichen Art sowohl auf der Definitionsmenge, als auch auf der Zielmenge gegeben, dann heißt eine Funktion verträglich mit diesen Verknüpfungen, wenn sich die Bilder bezüglich der einen Verknüpfung genauso verhalten wie die Urbilder bezüglich der anderen Verknüpfung.

Algebraische Eigenschaften

• Eine Funktion ist idempotent, wenn ${\displaystyle f\circ f=f}$ ist, d. h. ${\displaystyle f(f(x))=f(x)\,}$ für alle Elemente ${\displaystyle x}$ der Definitionsmenge gilt.
• Sie ist eine Involution, wenn ${\displaystyle f\circ f=\operatorname {id} }$ ist, also ${\displaystyle f(f(x))=x\!\,}$ für alle Elemente ${\displaystyle x}$ der Definitionsmenge gilt.
  • Die Identität ${\displaystyle x\mapsto x}$ erfüllt natürlich diese Bedingung, wird aber in seltenen Fällen dennoch nicht als Involution angesehen.
• Ein Fixpunkt ist ein Element ${\displaystyle a}$ der Definitionsmenge von ${\displaystyle f}$, für das ${\displaystyle f(a)=a}$ gilt.

Analytische Eigenschaften

• Beschränktheit
• Periodizität
• Monotonie
• Symmetrie
• Stetigkeit
• Differenzierbarkeit
• Glattheit
• Holomorphie
• Homogenität
• Messbarkeit
• Integrierbarkeit
• Konvexität

Multifunktionen

Eine Multifunktion (auch mehrwertige Funktion oder Korrespondenz genannt) ist eine linkstotale Relation. Das heißt, die Elemente der Definitionsmenge ${\displaystyle X}$ können auf mehrere Elemente der Zielmenge ${\displaystyle Y}$ abgebildet werden. Man schreibt auch ${\displaystyle f\colon X\multimap Y}$.

Wenn ${\displaystyle Y}$ eine Menge ist, dann kann man jede Multifunktion ${\displaystyle f\colon X\multimap Y}$ auch als eine Funktion ${\displaystyle \kappa _{f}}$ darstellen, die in die Potenzmenge von ${\displaystyle Y}$ geht: ${\displaystyle \kappa _{f}\colon X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y),\ x\mapsto \{y\in {Y}|(x,y)\in G_{f}\}}$. ^[12]

Im Fall ${\displaystyle Y=X}$ stellt eine mehrwertige Funktion ${\displaystyle f}$ eine Transitionsrelation dar, und ${\displaystyle \kappa _{f}}$ ist die zugehörige Transitionsfunktion.

Die Verkettung von Multifunktionen lässt sich genauso definieren wie für (eindeutige) Funktionen, mengentheoretisch ist dies äquivalent einer Verkettung zweier zweistelliger Relationen.^[13]

Umkehrungen von Funktionen als Multifunktionen

Ein Beispiel für Multifunktionen sind die Umkehrfunktionen (Umkehrungen) von nicht injektiven Funktionen. Wenn ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ surjektiv ist, gilt automatisch: ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\multimap X}$ ist eine Multifunktion. Die Darstellung der Umkehrfunktion in die Potenzmenge von ${\displaystyle X}$ liefert mit ${\displaystyle \kappa _{f^{-1}}(y)}$ die Fasern von ${\displaystyle f}$ (siehe oben).

Die Verkettung einer Funktion mit ihrer (allgemein nicht eindeutigen) Umkehrung in der Form ${\displaystyle f^{-1}\circ f}$ ist eine Äquivalenzrelation,^[14] die durch ${\displaystyle f}$ induzierte Äquivalenzrelation. Zwei Elemente aus dem Definitionsbereich sind genau dann äquivalent, wenn sie denselben Funktionswert haben.^[13]

Partielle Funktionen

Wohl zu unterscheiden vom Begriff der Funktion ist der Begriff der partiellen Funktion, man spricht auch von einer „nicht überall definierten Funktion“ oder „funktionalen Relation“. Hier darf es Elemente der Quellmenge ( ${\displaystyle x}$-Werte) geben, denen kein Wert der Zielmenge ( ${\displaystyle y}$-Wert) zugeordnet ist. Hier ist dann die Nennung der Quellmenge in der obigen Tripelschreibweise tatsächlich notwendig. Allerdings darf es auch dort für einen ${\displaystyle x}$-Wert nicht mehr als einen ${\displaystyle y}$-Wert geben. Um partielle Funktionen von Funktionen zu unterscheiden, bezeichnet man Letztere auch als totale oder überall definierte Funktionen.

Die Menge ${\displaystyle [D\rightharpoonup Z]}$^[11] der partiellen Abbildungen von ${\displaystyle D}$ nach ${\displaystyle Z}$ ist die Vereinigung der totalen Abbildungen von Teilmengen von ${\displaystyle D}$ nach ${\displaystyle Z}$:

${\displaystyle [D\rightharpoonup Z]=\bigcup \limits _{X\subseteq {D}}[X\to Z]=\bigcup \limits _{X\subseteq {D}}Z^{X}}$

Sind die Mengen endlich, so gilt für Ihre Kardinalzahlen

${\displaystyle \left|[D\rightharpoonup Z]\right|=(|Z|+1)^{|D|}}$,

schließlich kann man jede partielle Abbildung auf D umkehrbar eindeutig zu einer totalen Abbildung fortsetzen, indem man einen beliebigen festen Funktionswert ${\displaystyle c}$ festschreibt, der nicht in ${\displaystyle Z}$ enthalten ist; und diese Operation stellt eine bijektive Abbildung auf ${\displaystyle (Z\cup \{c\})^{D}}$ dar.

Jede partielle Funktion ${\displaystyle f=(G_{f},X,Z)}$ ist im Wesentlichen gleich mit der (totalen) Funktion ${\displaystyle (G_{f},Db(f),Z)}$ mit der Urbildmenge ${\displaystyle Db(f):=\{x\in {X}\mid \exists y\in {Z}\colon (x,y)\in G_{f}\}}$.

Funktionen mit Werten in einer echten Klasse

Häufig liegen die Werte einer Funktion nicht in einer Zielmenge, sondern lediglich in einer echten Klasse, beispielsweise sind Mengenfolgen „Funktionen“ mit Definitionsmenge ${\displaystyle \mathbb {N} }$ und Werten in der Allklasse. Um die mengentheoretischen Probleme, die sich daraus ergeben, zu vermeiden, betrachtet man nur noch den Graph der entsprechenden Funktion, genauer: Ein funktionsartiger Graph ist eine Menge ${\displaystyle G}$ von Paaren ${\displaystyle (x,y)}$, sodass keine zwei Paare im ersten Eintrag übereinstimmen:^[15]

${\displaystyle \forall x,y_{1},y_{2}\colon \,(x,y_{1}),(x,y_{2})\in G\implies y_{1}=y_{2}}$

Definitions- und Wertemenge sind tatsächlich Mengen, aber es ist nicht nötig, sich von vornherein auf eine Zielmenge festzulegen, solange die Funktionen im Wesentlichen gleich sind.

Bei partiellen Funktionen gilt gleiches für den Ziel- und Quellbereich. Beide können einzeln oder zusammen echte Klassen sein; mengentheoretische Probleme entstehen nicht, solange der Graph eine Menge bleibt.