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vom 09.02.2019, aktuelle Version,

Bild (Mathematik)

Das Bild dieser Funktion ist
{A, B, D}

Bei einer mathematischen Funktion ist das Bild, die Bildmenge oder der Bildbereich einer Teilmenge des Definitionsbereichs die Menge der Werte aus der Zielmenge , die auf tatsächlich annimmt.[1]

Häufig werden dafür auch die Wörter Wertemenge[2] oder Wertebereich[1] benutzt, die aber bei anderen Autoren zur Bezeichnung der ganzen Zielmenge [3] verwendet werden.

Definition

Üblichste Notation

Für eine Funktion und eine Teilmenge von bezeichnet man die folgende Menge als das Bild von M unter f:

Das Bild von f ist dann das Bild der Definitionsmenge unter , also:

Im Allgemeinen nutzt man die übliche Mengennotation, um die Bildmenge darzustellen, in obigem Beispiel:

Alternative Notationen

  • Für wird auch die Notation verwendet, um kenntlich zu machen, dass nicht auf als Ganzem, sondern elementweise auf die Mitglieder dieser Menge anzuwenden ist. Als weitere Bezeichnungsweise kommt gelegentlich vor.[4][5]
  • Für ist auch die englische Bezeichnung („im“ vom englischen Wort image) gebräuchlich.

Beispiele

Wir betrachten die Funktion (ganze Zahlen) mit .

  • Hierbei werden verschiedene Eingabemengen nicht unbedingt auf verschiedene Bildmengen geschickt:
  • Insgesamt ist die Menge der Quadratzahlen das Bild der Funktion:

Eigenschaften

Es sei eine Funktion und und seien Teilmengen von :

  • ist genau dann surjektiv, wenn .

  • Ist injektiv, dann gilt hier ebenfalls die Gleichheit.

Die Aussagen über Vereinigung und Durchschnitt lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige nichtleere Familien von Teilmengen verallgemeinern.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. 1 2 Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8., überarbeitete Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6, S. 106.
  2. Reinhard Dobbener: Analysis. Studienbuch für Ökonomen. 4., korrigierte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München u. a. 2007, ISBN 978-3-486-57999-4, S. 12, Definition 1.12.
  3. Michael Ruzicka, Lars Diening: Analysis I. Vorlesung vom Wintersemester 2004/2005. (Memento vom 23. Januar 2005 im Internet Archive). S. 21. (Memento vom 21. Oktober 2013 im Internet Archive) (PDF; 74 kB).
  4. Jean E. Rubin: Set Theory for the Mathematician. Holden-Day, 1967, S. xix.
  5. M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU. 29. Dezember 2005, auf: Semantic Scholar. S. 2.