Urbild (Mathematik)

Das Urbild des Elementes $0$ oder der einelementigen Teilmenge $\{0\}\subseteq B$ ist die dreielementige Menge $\{2,3,5\}\subseteq A$ .

In der Mathematik ist das Urbild ein Begriff im Zusammenhang mit Abbildungen und Funktionen. Das Urbild einer Menge $M$ unter einer Funktion $f$ ist die Menge der Elemente, die durch $f$ auf ein Element in $M$ abgebildet werden. Ein Element $x$ aus der Definitionsmenge von $f$ liegt also genau dann im Urbild von $M$ , wenn $f(x)$ in $M$ liegt. Damit ist das Urbild einer Teilmenge der Zielmenge $B$ einer Funktion $f\colon A\to B$ eine Teilmenge ihrer Definitionsmenge $A$ . Da Funktionen linkstotal sind, entspricht das Urbild der Definitionsmenge, wenn man die gesamte Bildmenge betrachtet.

Definition

Sei $f\colon A\to B$ eine Funktion und $M$ eine Teilmenge von $B$ . Dann bezeichnet man die Menge

f^{-1}(M):=\left\{x\in A\mid f(x)\in M\right\}

als das Urbild von M unter f.

Ein Urbild ist damit ein Wert der sogenannten Urbildfunktion, die jedem Element $M$ der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(B)$ der Zielmenge $B$ das Urbild $f^{-1}(M)$ als Element der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(A)$ der Definitionsmenge $A$ zuordnet.

Das Urbild einer einelementigen Menge $M=\{b\}$ schreibt man auch als

f^{-1}(b):=f^{-1}(\{b\})=\{x\in A\mid f(x)=b\}

und nennt es das Urbild von b unter f. Diese Menge braucht aber nicht einelementig zu sein (sie kann also auch leer sein oder mehr als ein Element enthalten).

Das Urbild eines Elements wird zuweilen auch Faser der Abbildung über diesem Element genannt, insbesondere im Zusammenhang mit Faserbündeln.

Beispiele

Für die Funktion $f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ (ganze Zahlen) mit $f(x)=x^{2}$ gilt:

f^{-1}(4)=\{2,-2\}

f^{-1}(0)=\{0\}

f^{-1}(3)=\emptyset

f^{-1}(-1)=\emptyset

f^{-1}(\{1,4\})=\{-2,-1,1,2\}

Eigenschaften

Injektivität, Surjektivität, Bijektivität

Unter einer bijektiven Funktion $f\colon A\to B$ ist das Urbild jedes Elements (genau) einelementig. Die Abbildung, die jedem Element von $B$ das (einzige, also eindeutig bestimmte) Element seines Urbildes zuordnet, heißt Umkehrfunktion von $f$ . Man bezeichnet sie (auch – wie die Urbildfunktion) mit $f^{-1}$ . Das kann leicht zu Missverständnissen führen, wenn man nicht ausführlicher $f^{-1}\colon B\to A$ für die Umkehrfunktion schreibt (wodurch sie dann deutlich von der Urbildfunktion $f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(B)\to {\mathcal {P}}(A)$ unterschieden wird).
Unter einer injektiven Funktion ist das Urbild jedes Elements höchstens einelementig (also einelementig oder leer).
Unter einer surjektiven Funktion ist das Urbild jedes Elements mindestens einelementig (also nichtleer).

Mengenoperationen und -eigenschaften

Es sei $f\colon A\to B$ eine Funktion, und $M$ und $N$ seien Teilmengen von $B$ . Dann gilt:

$f^{-1}(\emptyset )=\emptyset$
$f^{-1}(B)=A$
$f^{-1}(M\cup N)=f^{-1}(M)\cup f^{-1}(N)$
$f^{-1}(M\cap N)=f^{-1}(M)\cap f^{-1}(N)$
Die letzten beiden Aussagen (über Vereinigung und Durchschnitt) lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige Familien von Teilmengen verallgemeinern.

$f^{-1}(M^{\rm {c}})=(f^{-1}(M))^{\rm {c}}$
Dabei bezeichnet $X^{\rm {c}}$ das Komplement $G\setminus X:=\left\{g\in G\mid g\not \in X\right\}$ von $X$ in der jeweiligen Grundmenge $G$ .
$f^{-1}(M\setminus N)=f^{-1}(M)\setminus f^{-1}(N)$
$M\subseteq N\Rightarrow f^{-1}(M)\subseteq f^{-1}(N)$

Bild und Urbild

Es sei $f\colon A\to B$ eine Funktion, $M$ eine Teilmenge von $A$ und $N$ eine Teilmenge von $B$ . Dann gilt:

$f(M)\subseteq N\iff M\subseteq f^{-1}(N),$
d. h., es liegt eine Galoisverbindung vor.
$M\subseteq f^{-1}(f(M))$
Ist $f$ injektiv, dann gilt die Gleichheit.
$f(f^{-1}(N))\subseteq N$
Ist $f$ surjektiv, dann gilt die Gleichheit. Hinreichend ist schon $N\subseteq f(A)$ , dass also $N$ eine Teilmenge des Bildes $\operatorname {im} f:=f(A)=\{f(a)\mid a\in A\}$ von $f$ ist.

Urbild und Komposition

Für beliebige Mengen $A,B,C$ und beliebige Funktionen $f\colon A\to B,g\colon B\to C$ bezeichne $g\circ f\colon A\to C$ die Komposition von $g$ mit $f$ .